Wieso konvergiert der Cosinus aus Cosinus aus Cosinus usw.? |
06.01.2015, 11:18 | JTR66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso konvergiert der Cosinus aus Cosinus aus Cosinus usw.? Ich habe mal eine Frage zur Trigonometrie: Wenn ich jetzt eine Zahl nehme, und daraus den Cosinus nehme, und dann aus diesem Wert wieder, daraus dann wieder, usw. kommt man beim Radialen Cosinus auf den Wert 0,73908513321516064165531208767387... und beim Winkel-Cosinus (kann man das so nennen? ) auf den Wert 0,9998477415310881129598107686798... Beim Sinus geht es immer gegen 0. Jetzt ist die Frage: Warum? JTR |
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06.01.2015, 11:29 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wieso konvergiert der Cosinus aus Cosinus aus Cosinus usw.? Der Sinus schrumpft das Intervall und der Cosinus das Intervall (bijektiv) auf das Intervall und das kleinere Intervalle wieder auf ein noch kleineres usw.. Dann bemerkt man und . Die Intervalle werden immer kleiner. Und "damit" konvergiert iteratives Anwenden des Cosinus gegen 1 und iteratives Anwenden von Sinus gegen 0. Noch eine Bemerkung: Für den Sinus lässt sich das leicht nachrechnen, da die Ableitung im Nullpunkt sehr groß ist. Für den Cosinus sollte es auch stimmen, da die Ableitung etwa linear ist. Aber da müsste ich mir etwas mehr Gedanken machen. |
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06.01.2015, 11:32 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wieso konvergiert der Cosinus aus Cosinus aus Cosinus usw.? Konvergiert das nicht gegen den Fixpunkt? Edit: Schulmathematik, also ein bisschen ausführlicher: Durch diese wiederholte (iterierte) Anwenden bekommt man die Lösung der Gleichung beziehungsweise . Beim Cosinus findet man numerisch die Lösung 0,739085 |
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06.01.2015, 11:37 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wieso konvergiert der Cosinus aus Cosinus aus Cosinus usw.? Absoluter Denkfehler meinerseits, danke. Für Sinus stimmt die Argumentation (dort ist es ja auch der Fixpunkt), aber der Cosinus wird nicht gegen 1 konvergieren, da cos(1) ja nicht 1 ist...Und natürlich muss es aufgrund der Stetigkeit ja der Fixpunkt sein, wenn es konvergiert. Edit: Und man kann es einfach zeigen, da cos auf jedem Intervall eine Kontraktion und damit es einfach nach Banach geht, dessen Beweis ja iteratives Anwenden ist. |
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06.01.2015, 11:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Kosinusfolge kann man einfach auf den Banachschen Fixpunktsatz verweisen. Bei der Sinusfolge geht das leider nicht so einfach, da man dort keine Kontraktionskonstante echt kleiner 1 findet. Mit ist aber dennoch die Konvergenz gesichert, die dort allerdings sehr "langsam" vonstatten geht. |
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06.01.2015, 11:45 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@HAL: Aber wie zeigt man das in der Schulmathematik? |
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06.01.2015, 11:46 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schätze hier war nicht nach einem Beweis gefragt, sondern ein Schüler hat sich gelangweilt und gewaltsam auf die trigonometrischen Tasten auf dem Taschenrechner gehämmert. |
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06.01.2015, 11:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na eigentlich genauso wie hier, wobei man vielleicht nicht von allgemeinen normierten Räumen, sondern gleich von spricht. Ist an sich auch in der Schule zumutbar, sofern schon (vor allem geometrische) Reihen besprochen wurden. |
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06.01.2015, 11:55 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin wohl schon zu lange aus der Schule. Folgen und Reihen gab's damals noch nicht. Jedenfalls nicht im Lehrplan Jedenfalls soweit ich mich erinnern kann @IfindU: Sind das Handyentzugserscheinung? |
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06.01.2015, 11:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun bei uns damals (allerdings Osten) war das in Klasse 11 dran - ist natürlich ca. 30 Jahre her, ist vermutlich heute nicht mehr zumutbar. |
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06.01.2015, 12:09 | JTR66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für Eure Antworten! Nur bin ich schon seit 3 Jahren kein Schüler mehr! Und ein Handy besitze ich auch schon seit langem nicht mehr, weswegen die These mit den Entzugserscheinungen nicht ganz stimmt ist! |
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