Beweis Produkt stochastischer Matrizen

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06.01.2015, 11:38	chemist	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Produkt stochastischer Matrizen Meine Frage: Schönen Feiertag! Ich soll beweisen, dass das Produkt zweier zeilenstochastischer Matrizen wieder eine stochastische Matrix ergibt. Dass das so ist ist mir schon irgendwie klar, warum oder wie ich das zeigen soll weiß ich aber leider nicht. Meine Ideen: Ich glaube nicht, dass der Beweis so fürchterlich schwer ist... Ich hab's mal mit verschiedenen stochastischen Matrizen ausprobiert und immerhin hab ichs noch immer eine neue stochastische Matrix herausbekommen aber ich kenn mich halt doch irgendwie nicht aus. Jetzt hab ich mir überlegt, dass ich ja mal ganz allgemein zwei so Matrizen aufschreiben könnte. Das sieht jetzt in etwa so aus $\begin{eqnarray} <br /> A=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{i1} \\ ... & ... & ... \\ a_{1j} & ... & a_{ij} \end{pmatrix}<br /> B=\begin{pmatrix} b_{11} & ... & b_{i1} \\ ... & ... & ... \\ b_{1j} & ... & b_{ij} \end{pmatrix} <br /> <br /> A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{i1} \\ ... & ... & ... \\ a_{1j} & ... & a_{ij} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & ... & b_{i1} \\ ... & ... & ... \\ b_{1j} & ... & b_{ij} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Außerdem gilt ja: $\begin{eqnarray} <br /> 1=a_{11} + ... + a_{i1}= ... = a_{1j} + ... + a_{ij}=b_{11} + ... + b_{i1} = ... = b_{1j} + ... + b_{ij}=1 \end{eqnarray}$ Naja, ich schätze ihr merkt dass ich mich nixht wirklich auskenne... Es wäre toll wenn sich jemand von euch dazu bereit erklären würde mich durch dieses Beispiel zu führen. Vielen Dank schon mal!
06.01.2015, 11:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen Kannst du das Element der Produktmatrix $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ hinschreiben, das in Zeile i und Spalte k steht?
06.01.2015, 12:15	chemist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen Äh, moment: $\begin{eqnarray} <br /> a_{1l} b_{k1}+...+a_{kl} b_{kl}+...+a_{il} b_{kj}=c_{kl}<br /> \end{eqnarray}$ ?
06.01.2015, 12:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen Äh, nein. Der Anfang sieht aus, als würdest du eine Element von BA berechnen, das Ende verstehe ich nicht.
06.01.2015, 13:07	chemist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen Entschuldige, ich glaube ich hab mich durch den Buchstabenüberfluss und meine, zugegebenermaßen nicht besonders schöne, Handschrift verwirren lassen. Vielleicht hab ich dich auch falsch verstanden, ich hab mir jetzt nochmal zwei Matrizen aufgeschrieben, hoffe es macht halbwegs Sinn, und zwar sieht das bei mir aufm Papier jetzt so aus: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a_{11} & ...&a_{1k}& ...& a_{1j} \\ ...& ...&... & ... &... \\ a_{i1} & ...& a_{ik} & ...& a_{ij} \\ ...&...&...&...&...\\ a_{l1} &...& a_{lk}&...&a_{lj} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} b_{11} & ...&b_{1k}& ...& b_{1j} \\ ...& ...&... & ... &... \\ b_{i1} & ...& b_{ik} & ...& b_{ij} \\ ...&...&...&...&...\\ b_{l1} &...& v_{lk}&...&b_{lj} \end{pmatrix}=<br /> \begin{pmatrix} & & && \\ && & &\\ &&_{ik}&&\\&&&&\\&&&& \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt den Wert am Sternchen berechnen will muss ich doch die folgendes rechnen, oder? $\begin{eqnarray} a_{i1} b_{1k} + ...+ a_{ik} b_{ik}+...+a_{ij} b_{lk} \end{eqnarray*}$
06.01.2015, 13:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen Damit du deine beiden Matrizen überhaupt multiplizieren kannst, muss zunächst einmal $\begin{eqnarray} j=l \end{eqnarray}$ gelten. Warum schreibst du dir das nicht mal für zwei handliche Matrizen auf statt dich gleich im allgemeinen Fall zu verlaufen? Herausbekommen solltest du dann $\begin{eqnarray} c_{ik}=(AB)_{ik}=\sum_{r=1}^j a_{ir}b_{rk} \end{eqnarray}$ Dann siehst du auch, dass man den blauen Teil nur für $\begin{eqnarray} i=k \end{eqnarray}$ erreicht $\begin{eqnarray} a_{i1} b_{1k} + ...+ \textcolor{blue}{a_{ik} b_{ik}}+...+a_{ij} b_{lk} \end{eqnarray}$ .
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06.01.2015, 14:03	chemist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen 1.Damit du deine beiden Matrizen überhaupt multiplizieren kannst, muss zunächst einmal $\begin{eqnarray} j=l \end{eqnarray}$ gelten. Naja, das ist ja bei stochastischen Mateizen immer der Fall, oder? 2.1Warum schreibst du dir das nicht mal für zwei handliche Matrizen auf statt dich gleich im allgemeinen Fall zu verlaufen? $\begin{eqnarray} \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 3 & 3 & 4 \\ 2 & 7 & 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 8 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,31 & 0,46 & 0,23 \\ 0,42 & 0,38 & 0,2 \\ 0,33 & 0,42& 0,25 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zB i=2 k=2 $\begin{eqnarray} a_{i1}\cdot b_{1k} + a_{i2} \cdot b_{2k} + a_{i3} \cdot b_{3k}=<br /> 0, 3\cdot 0,1 +0,3 \cdot 0,5+ 0,4 \cdot 0,5 =<br /> 0,03+0,15+0,2=0,38 \end{eqnarray}$ 2.2Herausbekommen solltest du dann $\begin{eqnarray} c_{ik}=(AB)_{ik}=\sum_{r=1}^j a_{ir}b_{rk} \end{eqnarray}$ Kann ich bestätigen. S.o 3. Dann siehst du auch, dass man den blauen Teil nur für $\begin{eqnarray} i=k \end{eqnarray}$ erreicht $\begin{eqnarray} a_{i1} b_{1k} + ...+ \textcolor{blue}{a_{ik} b_{ik}}+...+a_{ij} b_{lk} \end{eqnarray}$ . Hab das mal für i=1 und k=2 probiert, kann ich so weit bestätigen.
06.01.2015, 14:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen Dann wäre jetzt der Zeitpunkt, die Beziehung $\begin{eqnarray} c_{ik}=\sum_{r=1}^j a_{ir}b_{rk} \end{eqnarray}$ zu nutzen
06.01.2015, 17:03	chemist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen Moment mal, die 3 Eigenschaften einer stochastischen Matrix sind doch: 1.sie ist quadratisch 2.alle Einträge sind positiv 3. die Einträge einer Zeile kann man zu 1 aufsummieren 1. Ergibt sich daraus, dass eine Matrix AB so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B hat. Da beide stochastische Matrizen A und B quadratisch sind und die gleiche Zeilen/Spaltenanzahl haben kann ich nur wieder eine quadratische Matrix erhalten 2. Muss gelten, da alle Einträge aus A und B positiv sind und positives mit positivem summiert/multipliziert immer positives ergibt, müssen auch alle Einträge aus AB positiv sein Daraus folgt, dass ich $\begin{eqnarray} c_{ik}=\sum_{r=1}^j a_{ir}b_{rk} \end{eqnarray}$ dazu nutzen muss 3 zu beweisen...
06.01.2015, 17:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Produkt stochastischer Matrizen zu 1. Das war mir jetzt gar nicht geläufig Aber dann hast du mit deinen Ausführungen dazu völlig recht. zu 2. Auch das ist richtig zu 3. Auf geht's
06.01.2015, 17:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@chemist Ersetz mal in deinem gesamten Beitrag "positiv" durch "nichtnegativ": Denn Nullwerte sind durchaus auch zulässig.
06.01.2015, 18:43	chemist	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL: Huch, damit hast du natürlich vollkommen Recht! @URL: Bitte erschlag mich nicht für die Frage, aber ich bin mir nicht ganz sicher wie... Allerdings hab ich die letzte Stunde mit einem Studienkollegen verbescht und wir haben uns überlegt ob man das ganze nicht evtl auch so ansetzen könnte/dürfte/möchte: $\begin{eqnarray} <br /> A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & I \end{pmatrix} <br /> B=\begin{pmatrix} j & k & l \\ m & n & o \\ p & q & r \end{pmatrix} <br /> <br /> AB=\begin{pmatrix} aj+bm+cp & ak+bn+cq & al+bo+cr \\ dj+em+fp & dk+en+fq & dl+eo+fr \\ gj+hm+im & gk+hn+iq & gl+ho+ir \end{pmatrix}<br /> <br /> \Rightarrow <br /> aj+bm+cp+ah+bn+cq+al+bo+cr=1<br /> a(j+h+l)+b(m+n+o)+c(p+q+r)=1<br /> a1+b1+c1=1<br /> a+b+c=1<br /> <br /> \end{eqnarray}$ ... und analog das gleiche für die weiteren Zeilen. Warum wir zweifeln: 1. liefert das ja eigentlich nur den Beweis dass es geht für die 3x3-Matrix 2. War dann die ganze Vorarbeit ja praktisch umsonst
06.01.2015, 18:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ihr da gemacht habt, ist vollkommen richtig und auch die Idee, wie man es für den allgemeinen Fall einer $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Matrix macht. Die Vorarbeit war durchaus nicht umsonst, wenn du mal überlegst, was du im allgemeinen Fall noch machen musst, nämlich für eine beliebige Zeile $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ die Zeilensumme berechnen, also $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^j c_{ik}=\sum_{k=1}^j \sum_{r=1}^j a_{ir}b_{rk}=\sum_{r=1}^j \sum_{k=1}^j a_{ir}b_{rk}=\sum_{r=1}^j a_{ir} \sum_{k=1}^j b_{rk} \end{eqnarray}$ und rechts hat man wieder zwei Zeilensummen stehen. Vergleich das mit dem Schreibaufwand eurer Darstellung. Allein die Vereinfachung in der Notation war es wert, oder?
06.01.2015, 18:59	chemist	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Vielen Dank ich hab endlich das Gefühl zu wissen was ich bei dem ganzen Beispiel zu tun habe!

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