Anwendungen des Mittelwertsatzes

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendungen des Mittelwertsatzes
Meine Frage:
Beweisen Sie ohne die Verwendung von den Regel von de l´Hospital
a) Sei eine differenzierbare Funktion mit und
Dann gilt
b) Sei eine differenzierbare Funktion mit
Dann gilt
Hinweis für b) Führen Sie den allgemeinen Fall auf den Spezialfall c=0 zurück mit

Meine Ideen:
a)
Sei beliebig, und das gilt
MWS: Seien zwischen x und y sodass:

Damit erhalte ich mit
Wenn ich nun x fix lasse und gehen lasse folgt die Behauptung.

b)Fall

D.h. ich kann für ausreichend große x beschränken.
Sei beliebig, und das gilt
Aus dem MWS folgt für existiert ein zwischen x und sodass
Da folgt:


Für





Für geht
Anwenden von obigen


Passt das irgendwie so? Ich bin mir unsicher.
Ich bitte um Korrektur!Danke
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Entwickle einfach Nenner und Zähler an der Stelle x=0 in einer Taylorreihe, was wegen der Differenzierbarkeit möglich ist




Einsetzen und kürzen liefert



Bei Aufgabe b) funktioniert das ähnlich.
 
 
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort aber die Aufgabe ist für das 1.Semester, deshalb darf ich sicher nicht Taylorreihen verwenden.
Hast du dir denn meine Lösung durchgelesen und kannst mir sagen ob sie korrekt ist?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung ist viel zu kompliziert. Beachte doch bei a) einfach, dass du die Funktion f stetig auf den Definitionsbereich [0,a[ erweitern kannst mit f(0)=0 und dass dann für die Ableitung von f an der Stelle x=0 gilt:
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Ich verstehe nicht warum das zweite Gleichheitszeichen gilt. Kannst du mir das erklären? Ist das Absicht, dass du ein definitorisch gleich verwendest?

Du meinst am Anfang der Zeile eher antselle von oder? Sonst verwendest du ja im ersten Gleichheitszeichen die Stetigkeit von der ersten Ableitung, die aber nicht gegeben ist.
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