Lösung der Differentialgleichung

06.01.2015, 13:38

Malameister

Lösung der Differentialgleichung

Meine Frage:
Löse diese Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} y'+ y = x^{2} +\cos(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
für die homogene Lösung bekomme ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} y_{h} = c_{1} \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Mir fehlt der Ansatz für das Störglied!
Veilleicht $\begin{eqnarray*} y_{s} =ax^{2} + bx+c+\alpha \cdot \frac{e^{ix} }{2} +\alpha \cdot \frac{e^{-ix} }{2} \end{eqnarray*}$
hab den cosinus umgeschrieben. Komme aber aufs falsche Ergebnis.
Bitte um ausführliche Lösungen oder Lösungsansätze.
Vielen Dank im Vorraus!

06.01.2015, 13:43

klarsoweit

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RE: Lösung der Differentialgleichung
Hm. Ich hätte es mit Variation der Konstanten versucht.

06.01.2015, 13:58

Malameister

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das dürfte hier aber nicht klappen,oder?

06.01.2015, 14:19

klarsoweit

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Wieso nicht?

06.01.2015, 14:34

HAL 9000

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RE: Lösung der Differentialgleichung

Zitat:

Original von Malameister
Veilleicht $\begin{eqnarray*} y_{s} =ax^{2} + bx+c+\alpha \cdot \frac{e^{ix} }{2} +\alpha \cdot \frac{e^{-ix} }{2} \end{eqnarray*}$

Zweimal dasselbe $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ ??? Hinten dann wohl doch besser $\begin{align*} \beta\cdot \frac{e^{-ix} }{2} \end{align*}$ .

Aber warum nicht gleich reell bleiben? Ansatz

$\begin{align*} y_{s} =ax^{2} + bx+c+d\cos(x)+e\sin(x) \end{align*}$

sollte eigentlich funktionieren.

06.01.2015, 14:56

Malameister

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Bekomme dann folgendes herraus:
$\begin{eqnarray*} y(x) = x^{2} -2x+\frac{1}{2}cos(x)+\frac{1}{2} \sin(x) + c_{1}\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
Fast richtig, da fehlt nur noch +2 in der Lösung (laut Wolfram Alfa)

Wie kommst du auf den Ansatz? ax^2+bx+c bezieht sich ja auch x^2,
aber wo holst du dein sin(x) her? Verstehe ich nicht ganz.

Vielen Dank schonmal, ist ja schon fast richtig.

06.01.2015, 15:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malameister
Wie kommst du auf den Ansatz?

Weil der für Störfunktionen $\begin{align*} u_1e^{ix}+u_2e^{-ix} \end{align*}$ nötige Ansatzterm $\begin{align*} v_1e^{ix}+v_2e^{-ix} \end{align*}$ (durch Umparametrisierung) reell eben so geschrieben werden kann.

Es war oben eine irrige Annahme von dir, dass aus $\begin{align*} u_1=u_2 \end{align*}$ in der Störfunktion auf $\begin{align*} v_1=v_2 \end{align*}$ im Ansatz geschlossen werden kann. Dem ist nicht so. unglücklich

06.01.2015, 15:27

Malameister

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Okay verstehe, aber warum ist mein Ergebnis dann trotzdem falsch?

06.01.2015, 15:31

HAL 9000

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Woher soll ich denn wissen, wo du dich verrechnet hast, wenn du die Rechnung nicht offenlegst? Jedenfalls ist bei korrekter Rechnung c=2 statt wie bei dir c=0.

06.01.2015, 15:47

Malameister

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stimmt, Fehler lag bei mir. c=2

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