Grenzwert durch Umformung.

06.01.2015, 16:23

ReSv

Grenzwert durch Umformung.

Hallo,
Habe hier folgende Übungsaufgabe:
Berechnen Sie folgenden Grenzwert durch geeignete Umformung!

$\begin{eqnarray*} G=\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+tan(x)}-\sqrt{1-tan(x)}}{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Meine Frage: Wie gehe ich am besten vor?

Ich habe es schon mit ausklammern versucht, komme da aber auf keinen grünen Zweig!

06.01.2015, 16:31

Matt Eagle

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RE: Grenzwert durch Umformung.
Erweitere den Bruch unter Nutzung der 3. binomischen Formel.

06.01.2015, 16:32

ReSv

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Habe ich auch schon versucht! Nur die Wurzeln und das Minus dazwischen irritieren mich verwirrt

06.01.2015, 16:35

Matt Eagle

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Niemals irritieren lassen!

Erweitere einfach mit $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)}\right). \end{eqnarray*}$

06.01.2015, 17:28

ReSv

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habe jetzt erweitert!

dann bekomm ich:

$\begin{eqnarray*} G=\lim_{x \to 0} \frac{2*tan(x)}{sin(x)} \end{eqnarray*}$

tan(x) kann ich ja noch als $\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$ schreiben und den sin(x) kürzen.

$\begin{eqnarray*} G=\lim_{x \to 0} \frac{2}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

Eine Frage muss ich da nicht mit $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{1+tan(x)}+\sqrt{1-tan(x)})}{(\sqrt{1+tan(x)}+\sqrt{1-tan(x)})} \end{eqnarray*}$ erweitern?? verwirrt

06.01.2015, 17:33

HAL 9000

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Erweitern vs. Multiplizieren
Das ist eine Begriffsfrage:

Erweitern mit $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)}\right) \end{eqnarray*}$ bedeutet nicht einfach nur Multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)}\right) \end{eqnarray*}$ , sondern eben jenes Multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)})}{(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)})} \end{eqnarray*}$ .

06.01.2015, 17:54

ReSv

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ok^^

dann erweitere ich mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)}) \end{eqnarray*}$

und multipliziere es mit $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)})}{(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)})} \end{eqnarray*}$

smile

so dann bekomme ich $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{1+\tan(x)})^2-(\sqrt{1-\tan(x)})^2}{sin(x)*(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\left(1+tan(x)\right) -(1-\tan(x))}{sin(x)*(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2*tan(x)}{sin(x)*(\sqrt{1+\tan(x)}+\sqrt{1-\tan(x)})} \end{eqnarray*}$

Bin ich da auf dem richtigen weg? traurig

06.01.2015, 18:20

HAL 9000

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Ja. Du warst doch oben schon mal fast fertig, es fehlte nur der Nennerterm der Erweiterung. Aber Ok, alles nochmal sauber von vorn, hat auch was für sich. Augenzwinkern