Grenzwert einer Funktion

06.01.2015, 17:21

mathNoop

Grenzwert einer Funktion

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

bei Folgender Aufgabe habe ich eine kleine Frage:

Bestimmen Sie den Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} g = \lim_{n \to \infty } f(x) \end{eqnarray*}$

und geben Sie für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} M(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ an, so dass
$\begin{eqnarray*} | f(x) - g | < \varepsilon \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} x > M(\varepsilon) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4-3x}{x+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also habe den Grenzwert berechnet:
-3
der sollte richtig sein.

Nun zu meinem Problem:

wenn ich jetzt
$\begin{eqnarray*} | \frac{4-3x}{x+1} - (-3)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

umforme komme ich immer zu
$\begin{eqnarray*} |\frac{7}{x+1} | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wo nach umformungen

$\begin{eqnarray*} |\frac{7}{\varepsilon} | < x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{7}{\varepsilon} -1 | < x \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} x0 = \frac{7}{\varepsilon} -1 \end{eqnarray*}$

Überbleibt.

Lösung lautet aber nur

$\begin{eqnarray*} x0 = \frac{7}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

Wo liegt also mein Fehler ?

06.01.2015, 17:25

HAL 9000

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Es geht hier nicht um exakte Ungleichungslösung.

Sowohl $\begin{align*} x_0=\frac{7}{\varepsilon}-1 \end{align*}$ als auch $\begin{align*} x_0=\frac{7}{\varepsilon} \end{align*}$ sind korrekte Antworten.

Zumindest wenn man deine Fragestellung dahingehend korrigiert:

Zitat:

Bestimmen Sie den Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} g = \lim_{{\color{red}x}\to \infty } f(x) \end{eqnarray*}$

und geben Sie für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} {\color{red}x_0(\varepsilon)} \end{eqnarray*}$ an, so dass $\begin{eqnarray*} | f(x) - g | < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x > x_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gilt.

06.01.2015, 22:04

mathNoop

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Danke erstmal smile

Oh ja der Limes soll natürlich von x bis UNENDLICH gehen.

Aber in der Aufgabenstellung steht $\begin{eqnarray*} M(\varepsilon) \end{eqnarray*}$
und nicht $\begin{eqnarray*} {\color{red}x_0(\varepsilon)} \end{eqnarray*}$

Aber inwiefern macht dies einen Unterschied ? Oder ist damit das selbe gemeint ?

06.01.2015, 23:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathNoop
Aber in der Aufgabenstellung steht $\begin{eqnarray*} M(\varepsilon) \end{eqnarray*}$
und nicht $\begin{eqnarray*} {\color{red}x_0(\varepsilon)} \end{eqnarray*}$

Nun, DU warst es doch, der in seinen Ausführungen von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ statt $\begin{align*} M \end{align*}$ gesprochen hat:

Zitat:

Original von mathNoop
also $\begin{eqnarray*} {\color{red}x0}~ = \frac{7}{\varepsilon} -1 \end{eqnarray*}$

Überbleibt.

Lösung lautet aber nur

$\begin{eqnarray*} {\color{red}x0}~ = \frac{7}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

Ich habe dementsprechend nur die Aufgabenstellung angepasst.

Du kannst natürlich auch gern umgekehrt deine Ausführungen anpassen. Augenzwinkern

07.01.2015, 11:08

mathNoop

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Ja gut da habe ich wohl was verwechselt. Hammer

Aber was genau ist der unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} M(\varepsilon) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} {x_0(\varepsilon)} \end{eqnarray*}$ ?

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