Punkt A auf einer Gerade mit geg. Abstand vom Punkt P

19.08.2004, 11:57	Wirrkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt A auf einer Gerade mit geg. Abstand vom Punkt P Hallo, mein Problem ist das folgende: Als gegeben habe ich einen Punkt mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray} r(P)= \begin{pmatrix} x(P) \\ y(P) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ im Kart. Koordinatensytem, sowie eine Gerade mit Geradengleichung y=mx+b oder $\begin{eqnarray} g=r1+ \lambda (r2-r1) \end{eqnarray*}$ . Könnte mir bitte jemand dabei helfen, den Punkt auf der genannten Gerade g zu ermitteln, der vom Punkt P den Abstand d hat?
19.08.2004, 12:39	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, mal überlegen für d gilt $\begin{eqnarray} d = \\| r(P)_2 - r(P) \\| \end{eqnarray}$ Zusatzbedingung ist das $\begin{eqnarray} r(P)_2 \in G \end{eqnarray}$ das heißt $\begin{eqnarray} r(P) = r1 + \alpha(r2 - r1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r(P)_2 = r1 + \beta(r2 - r1) \end{eqnarray}$ für ein spezielles Alpha und spezielles Beta also gilt doch für d $\begin{eqnarray} d = \\| (r1 + \alpha(r2- r1) - (r1 + \beta(r2-r1)) \\| \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} d = \\| (\alpha - \beta)(r2- r1) \\| \end{eqnarray*}$ Da wir den Punkt p(r) und d gegeben haben können wir uns alpha (alpha bekommt man aus der umstellung der Geradengleichung) und d als fest setzen, wir müssen nun entsprechend zu diesem alpha/d das beta wählen. Das lässt sich schon durch umstellen der Betragsdefinition erreichen. Für dieses beta bekommen wir dann den Punkt auf der Geraden mit dem Abstand d.

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