Rekursionsgleichung zweiter oder dritter Ordnung lösen

06.01.2015, 19:53	Heino	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursionsgleichung zweiter oder dritter Ordnung lösen Guten Abend Erstmal, ich studiere KEIN Mathe und steh etwas auf dem Schlauch. Es wurde in den Vorlesungen minimal auf homogene Rekursionsgleichungen 1. und 2. Ordnung und inhomogene 1. Ordnung eingegangen. Jetzt in den Altklausuren kommen dann plötzlich auch andere dran, ohne dass wir irgendeinen vernünftigen allgemein gültigen Lösungsansatz hätten, außer "intelligent raten". (Ich weiß dass es so einen allgemeinen Ansatz nicht gibt, ... aber ich weiß einfach nicht wie man da rangehen könnte. Erstmal zwei Beispiele: $\begin{eqnarray} 4a_{n} = 8a_{n-1} - 3a_{n-2} -2a_{n-3}, <br /> a_{0}=1, a_{1}=2, a_{2}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3a_{n} = 4a_{n-1} - a_{n-2} + 8n, <br /> a_{0}=1, a_{1}=1 \end{eqnarray}$ Gesucht wird zu beiden $\begin{eqnarray} A(x) \end{eqnarray}$ , also die erzeugende Funktion. So wie ich das sehe, kommt man auf die erzeugende Funktion nur (bzw. am einfachsten) über die Potenzreihe zur Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ , aber wie soll man das hierbei anwenden? Und noch ne allgemeine Frage, kann ich bei den Beispielen erstmal bedenkenlos auf beiden Seiten durch 4 bzw. 3 teilen, um das allgemeinere $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ zu bekommen?
07.01.2015, 16:48	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursionsgleichung zweiter oder dritter Ordnung lösen Mit dem Potenzreihenansatz folgt für das erste Beispiel: $\begin{eqnarray} (1-2x+\frac 34x^2+\frac 12 x^3)\sum_{n=0}^\infty a_n x^n=(1+2x+2x^2)-2x(1+2x)+\frac 34 x^2 \end{eqnarray}$ woran sich die erzeugende Funktion dann ablesen lässt.
07.01.2015, 17:44	Heino	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber das sagt mir nicht viel. Ich versteh ja noch wie du auf $\begin{eqnarray} (1-2x + \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{2}x^3) \end{eqnarray}$ kommst, aber warum ersetzst du $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x^0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{n-1} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x^1 \end{eqnarray}$ usw.? Jedenfalls weiß ich auch nicht wie du auf das rechts vom $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ gekommen bist.... (ich denke da vor der Summe fehlt ein Zeilenumbruch, nicht?
07.01.2015, 18:57	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin davon ausgegangen, dass du mit dem Potenzreihenansatz was anfangen kannst... Zunächst mutliplizieren wir die Rekursionsformel mit $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ und erhalten: $\begin{eqnarray} a_n x^n=2xa_{n-1}x^{n-1}-\frac 34 x^2 a_{n-2}x^{n-2}-\frac 12 x^3a_{n-3} x^{n-3}. \end{eqnarray}$ Dann wird über $\begin{eqnarray} n=3\text{ bis }\infty \end{eqnarray}$ summiert $\begin{eqnarray} \sum_{n=3}^\infty a_n x^n=2x\sum_{n=2}^\infty a_nx^n-\frac 34 x^2 \sum_{n=1}^\infty a_n x^n-\frac 12 x^3\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{eqnarray}$ unter Nutzung der Startwerterte umgeformt $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n-1-2x-2x^2=2x\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-1-2x\right)-\frac 34 x^2 \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n-1\right)-\frac 12 x^3\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{eqnarray}$ und dann zusammengefasst zu $\begin{eqnarray} (1-2x+\frac 34 x^2+\frac 12 x^3)\sum_{n=0}^\infty a_n x^n=(1+2x+2x^2)-2x(1+2x)+\frac 34 x^2. \end{eqnarray}$

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