Komplexe Zahlen - Umformungen mit i

06.01.2015, 20:02	abiturient_61	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen - Umformungen mit i Hallo alle zusammen, folgende Umformungen kann ich nicht nachvollziehen... $\begin{eqnarray} \sqrt{-\frac{1}{2}i } = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{2}i } = \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \end{eqnarray}$ Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir auf die Sprünge helfen könntet ^^ Gruß Student_61
06.01.2015, 20:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - Umformungen mit i Wie ich schon andernorts sagte: Die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl ist hier hilfreich. Jedenfalls wenn du die Wurzel(n) selbst berechnen willst. Falls nicht, kannst du doch einfach die rechte Seite quadrieren und wirst den Radikanden der linken finden.
13.01.2015, 00:18	abiturient_61	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{-\frac{1}{2}i } = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} = \sqrt{-\frac{1}{2}e^{\frac{3\pi }{2} } } = \sqrt{-\frac{1}{2} } \sqrt{e^{\frac{3\pi }{2} }} = \frac{i}{\sqrt{2} } e^{\frac{3\pi }{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{i}{\sqrt{2} } (cos\frac{3\pi }{4} + isin\frac{3\pi}{4} ) = \frac{i}{\sqrt{2} }(-\frac{\sqrt{2} }{2} + i\frac{\sqrt{2} }{2}) = -\frac{i}{2} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Noch einmal vielen Dank für den Hinweis ! Aber wo liegt mein Fehler, wieso habe ich ein Minus vor der 1/2 und kein Plus wie in der Lösung ? Gruß Student_61
13.01.2015, 00:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Seit wann ist $\begin{eqnarray} e^{\frac{3\pi}2}=i \end{eqnarray}$
13.01.2015, 00:51	abiturient_61	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ich hab für -i die Exponentialdarstellung bestimmt und dann das Minus trotzdem dastehen lassen... Danke ! Der Winkel muss natürlich pi/2 sein für i $\begin{eqnarray} \sqrt{-\frac{1}{2}i } = \sqrt{-\frac{1}{2}e^{\frac{\pi }{2} } } = \sqrt{-\frac{1}{2} } \sqrt{e^{\frac{\pi }{2} }} = \frac{i}{\sqrt{2} } e^{\frac{\pi }{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{i}{\sqrt{2} } (cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi}{4} ) = \frac{i}{\sqrt{2} }(\frac{\sqrt{2} }{2} + i\frac{\sqrt{2} }{2}) = \frac{i}{2} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ jetzt komm ich allerdings immernoch nicht auf 1/2 - i/2 ... Was ist denn jetzt noch falsch
13.01.2015, 09:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{-\tfrac{i}{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}\cdot \sqrt{-i}=\tfrac{1}{ \sqrt{2}}\cdot e^{-\tfrac{i\pi}{4}}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot [\cos \left ( -\tfrac{\pi}{4}\right )+i\cdot \sin \left (-\tfrac{\pi}{4} \right )]=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left ( \tfrac{1}{\sqrt{2}}-i\cdot \tfrac{1}{\sqrt{2}}\right )=\tfrac{1}{2}-\tfrac{i}{2} \end{eqnarray}$ @Abiturient 61 In deiner Rechnung hast du in der 1.Zeile die imagnäre Einheit i im Exponenten der e-Funktion vergessen. Das falsche Vorzeichen bei deiner Rechnung im Vergleich zu meiner ist darin begründet, dass die Operation $\begin{eqnarray} \sqrt{-\tfrac{1}{2}}=\pm \tfrac{i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ nicht eindeutig ist.
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13.01.2015, 14:58	abiturient_61	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank !

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