Herleitung: tan x = sqrt(3) für welche x

06.01.2015, 21:05

Shalec

Herleitung: tan x = sqrt(3) für welche x

Hallo allerseits,

ich will gerade die x-Werte für die Identität "tan x = sqrt(3)" ermitteln. Dazu darf der Sinus und Cosinus nicht verwendet werden. Die Analyse sollte auch nicht auf numerischen Wege geschehen. Auch die Umkehrung des tan(x) darf nicht verwendet werden.

Kann mir hier jemand Tipps geben?

Viele Grüße und vielen Dank.

07.01.2015, 00:05

HAL 9000

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Vielleicht einfach ein gleichseitiges Dreieck anschauen?

07.01.2015, 10:59

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vielleicht einfach ein gleichseitiges Dreieck anschauen?

Da beginnt das nächste Problem, an das ich bei der Threaderstellung nicht gedacht hatte: Die geometrische Vorbildung beschränkt sich auf die frühe Schulzeit. Trigonometrische Funktionen und geometrische Figuren haben keinen hergestellten Bezug für die Studis.

Ich hatte da an eine Betrachtung auf analytischer Weise gedacht, mittels Substitution und finden von Nullstellen einer Funktion.
Es handelt sich um einen Rechenmethodenkurs für NaWi's. Ich suche da nach einer intuitiven Lösungsmethode. Komplexe Zahlen wurden eingeführt und das Zentrum bildet die Eulersche Darstellung von $\begin{eqnarray*} e^{i\phi}=\cos(\phi)+i\sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Ich weiß garnicht wie präzise die hier eine Herleitung können müssen oder ob ein Blick in die Tabelle genügt. Laut Doz. würde es reichen, ein Beispiel nennen zu können. Ich würde denen aber gerne auf einer für sie verständlichen Weise die Herleitung bieten. Zusammenhang von tan, sin und cos ist bekannt und wurde genutzt, um auf die Fragestellung zu reduzieren.

Mir fällt nur kein Weg ein, ab hier auf naheliegender Weise weiter zu machen.

07.01.2015, 13:44

Leopold

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$\begin{align*} \omega = \operatorname{e}^{\frac{\operatorname{i} \pi}{3}} \end{align*}$ liegt im I. Quadranten und ist primitive sechste Einheitswurzel. Es gilt: $\begin{align*} \omega^3 = -1 \end{align*}$ . Daher muß $\begin{align*} \omega \end{align*}$ eine Lösung der Gleichung $\begin{align*} z^3 + 1 = 0 \end{align*}$ sein. Die Faktorisierung $\begin{align*} z^3 + 1 = (z+1)(z^2-z+1) \end{align*}$ zeigt weiter, daß $\begin{align*} \omega \end{align*}$ eine Lösung der Gleichung $\begin{align*} z^2-z+1=0 \end{align*}$ ist. Somit ist nur noch eine quadratische Gleichung zu lösen und die Lösung im I. Quadranten herauszufiltern. Real- und Imaginärteil liefern Sinus und Cosinus des Winkels.

07.01.2015, 14:43

Shalec

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \omega = \operatorname{e}^{\frac{\operatorname{i} \pi}{3}} \end{align*}$ liegt im I. Quadranten und ist primitive sechste Einheitswurzel. Es gilt: $\begin{align*} \omega^3 = -1 \end{align*}$ . Daher muß $\begin{align*} \omega \end{align*}$ eine Lösung der Gleichung $\begin{align*} z^3 + 1 = 0 \end{align*}$ sein. Die Faktorisierung $\begin{align*} z^3 + 1 = (z+1)(z^2-z+1) \end{align*}$ zeigt weiter, daß $\begin{align*} \omega \end{align*}$ eine Lösung der Gleichung $\begin{align*} z^2-z+1=0 \end{align*}$ ist. Somit ist nur noch eine quadratische Gleichung zu lösen und die Lösung im I. Quadranten herauszufiltern. Real- und Imaginärteil liefern Sinus und Cosinus des Winkels.

D.h. ich müsste sie erstmal dazu anleiten die Lösung im ersten Quadranten zu ermitteln, um dann die Verallgemeinerung herleiten zu können. Das sollten die aber hinbekommen. Zur Not mit einem Blick auf die Liste.

Wie würde sich das anderenfalls didaktisch nachhaltig anbieten die Lösung im ersten Quadranten zu finden?

Vielen Dank, der Weg ist für sie intuitiv gehbar.

07.01.2015, 18:33

Leopold

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Ich verstehe nicht ganz, was du willst. Nach deinem letzten Beitrag bin ich im Zweifel, ob ich mit meinem Vorschlag deine Absichten treffe. Vielleicht ist doch HALs Zugang der angemessenere. Etwa so: Zeichne im komplexen Einheitskreis ein Dreieck zwischen den Punkten $\begin{align*} a=0, \ b=1, \ c= \frac{1}{2} + \operatorname{i} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$ . Die Punkte $\begin{align*} b \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ liegen auf dem Einheitskreis. Begründe, warum das Dreieck gleichseitig ist und lies den Rest ab.

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