Taylorreihe berechnen

06.01.2015, 22:12	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe berechnen Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe ist es, eine Taylorreihe für $\begin{eqnarray} (\sqrt{x})^x , x_0=0 \end{eqnarray}$ zu berechnen. Meine Ideen: Ich habe nun versucht abzuleiten, aber dies wird unnötig schwierig. Sobald ich durch logarithmisches Differenzieren die erste Ableitung bilde, kann ich für die zweite schon ein großes Chaos erahnen. $\begin{eqnarray} y'=\sqrt{x}^x [1ln(\sqrt{x})+x\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}]=\sqrt{x}^x[ln(\sqrt{x})+x\frac{1}{2x}]<br /> =\sqrt{x}^x[ln(\sqrt{x})+\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ Die zweite Ableitung würde ein sichtbares Chaos werden. Und abgeleitet werden soll bis zum 4. Glied der Taylorreihe. Wo liegt mein Fehler? Ist es schon beim Ableiten? Oder übersehe ich einfach nur einen einfacheren Weg? Wäre sehr dankbar für jede Hilfe.
06.01.2015, 23:48	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
eine Idee habe ich auch nicht, aber Funktion und Ableitungen sind im Entwicklungspunkt Null nicht definiert
07.01.2015, 00:05	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Entschuldigung! Der Entwicklungspunkt ist 1 nicht 0!
07.01.2015, 00:43	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das dachte ich mir schon Mein Taschenrechner liefert $\begin{eqnarray} T_4(x,1)=\frac {1}{16}(x^3+3x^2-x+13) \end{eqnarray}$ die Ableitungen werden aber für die Hand schon unangenehm.
07.01.2015, 09:42	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe soeben eine Taylorreihe im Internet gefunden, deren Lösung ich möglicherweise auf die andere übertragen könnte. Die Aufgabe ist es, die Taylorreihe aus $\begin{eqnarray} e^{cos(x)} \end{eqnarray}$ zu bilden. Dazu bildet man die Taylorreihe von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos(x) \end{eqnarray}$ und setzt in die Taylorreihe von e letztendlich nur die Reihe von cos(x) ein. Wäre das eine Möglichkeit? Sie wirklich richtig kommt sie mir nicht vor, da ich für x bereits bei der zweiten Ableitung auf 0 kommen würde.
07.01.2015, 17:49	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
gute Idee ! $\begin{eqnarray} f(x)=\exp(\tfrac 12 x \ln(x)) \end{eqnarray}$ der Exponent wird in in Taylor entwickelt: $\begin{eqnarray} Y = \tfrac 12x\cdot T_2(ln(x),1)=... \end{eqnarray}$ einsetzen in $\begin{eqnarray} e^Y=1+Y+\tfrac 12 Y^2 \end{eqnarray}$ liefert das Gewünschte. Es funktioniert, 'habe es getestet.
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