EXPO-Verteilung mit Dichte

06.01.2015, 23:36	Malicious	Auf diesen Beitrag antworten »
EXPO-Verteilung mit Dichte Meine Frage: N'Abend Sei F: $\begin{eqnarray} \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ durch F(X)= $\begin{eqnarray} 1-e^{-x^{2}} \end{eqnarray}$ für x $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0 und 0 für x< 0 (a) Begründe das F eine Verteilungsfunktion ist. (b) Bestimme die zu F passende Dichtefunktion. Meine Ideen: zu (a): Zu zeigen: (i) F ist monoton wachsend. (ii) F ist rechtsseitig stetig, d.h. für alle Folgen $\begin{eqnarray} (x_{n}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x_{n}) \rightarrow (x_{0}) gilt \lim_{ n\to\infty } F(x_{n}) = F(x_{0}) \end{eqnarray}$ (die Pfeilrichtung soll eigentlich von rechts oben nach unten sein, wegen rechtsseitig stetig) (iii) $\begin{eqnarray} F(-\infty)= 0 und F(\infty )= 1 genauer \forall \end{eqnarray}$ Folgen $\begin{eqnarray} (x_{n}) gilt \lim_{(x_{n}) \to -\infty } F(x_{n}) = 0 bzw. \lim_{(x_{n}) \to \infty } F(x_{n}) = 1 \end{eqnarray}$ zu (i): aus $\begin{eqnarray} x_{1} \leq x_{2} \rightarrow F(x_{1}) \leq F(x_{2}) \end{eqnarray}$ das folgt doch automatisch aus der gegebenen Funktion oder? Zu(ii): das fällt mir irgendwie schwer -.- wie mache ich das denn jetzt mit den Folgen? zu(iii): $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } F(x) = \lim_{x \to \infty } 1-e^{-x^{2}}= 1 , \lim_{x \to -\infty } F(x) = 0 \end{eqnarray}$ (das folgt dirkt aus der Defintion der Funktion) zu(b): UM DF zu bestimmen, bilde ich das Differential: $\begin{eqnarray} \frac{\partial F(x)}{\partial x} \end{eqnarray}$ = f(x)= $\begin{eqnarray} 2xe^{-x^{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ , 0 für x < 0 Ist das ungefähr richtig so? Ich bitte um Verbesserungen und Hinweise :-)
06.01.2015, 23:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Sache etwas abkürzen: Wenn $\begin{align} F \end{align}$ (fast überall) differenzierbar ist mit nichtnegativer Ableitung, dann sind die Punkte (a)(i) und (ii) automatisch erfüllt! Ansonsten ist das schon ganz Ok, was du gemacht hast.
07.01.2015, 00:18	Malicious	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hal, meinst du genauer damit, dass F diffbar ist auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ \ {0}? Das macht Sinn wenn F diffbar ist, ist F auch stetig... Und weil die Ableitung nicht negativ ist, ist F monoton wachsend...
07.01.2015, 09:34	Malicious	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann vielleicht bitte jemand meine Interpretation bestätigen oder korrigieren......das wäre nett

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