Grenzwert von Funktion

07.01.2015, 00:20	neca	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Funktion Nabend, ich bin heute bei folgender Aufgabe ein wenig verzweifelt: Untersuchen Sie, ob der Grenzwert existiert und berechnen sie gegebenenfalls ihren Wert. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{x^{n} -1}{x^{m} -1} , \forall n,m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Sehe ich es richtig dass ich 6 Fälle betrachten muss ? n=m linksseitig / rechtsseitig, n>m linksseitig / rechtsseitig, n<m linksseitig / rechtsseitig. Für n=m ist wohl: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1^{+} } \frac{x^{n} -1}{x^{m} -1} = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1^{-} } \frac{x^{n} -1}{x^{m} -1} = 1 \end{eqnarray}$ für n>m und n<m ist meine Annahme dass kein eindeutiger Grenzwert existiert, aber besonders sicher bin ich mir da nicht. Wenn ich damit richtig liege habe ich auch bis dato keine Idee wie ich das dann zeigen könnte. Danke im Voraus
07.01.2015, 09:42	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt's z.B. folgende Möglichkeiten. 1. (mit geometrischer Summenformel) Betrachte einfach $\begin{eqnarray} \frac{x^n-1}{x^m-1}=\frac{1+x+x^2+\ldots+x^{n-1}}{1+x+x^2+\ldots+x^{m-1}} \end{eqnarray}$ und wende die Grenzwertsätze an. 2. (mit Differenzenquotienten) Setze $\begin{eqnarray} f(x):=x^k,~k\in\mathbb N. \end{eqnarray}$ Dann gilt ja $\begin{eqnarray} k=f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{x^k-1}{x-1} \end{eqnarray}$ woraus dann die Behauptung folgt.
07.01.2015, 09:57	Paranoide	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Funktion Also ich habe es jetzt spontan nur mit einem "shift", also einer Verschiebung des Limes, hinbekommen... $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{x^{n} -1}{x^{m} -1} =\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^{n} -1}{(x+1)^{m} -1} \end{eqnarray}$ ... und dann mithilfe des binomischen Lehrsatzes die Klammern aufgelöst und dann hebt sich da nachher was weg und es bleibt was Schönes übrig (was hoffentlich die richtige Lösung ist).... aaaaber das scheint mir noch zu kompliziert, geht sicherlich viel einfacher, ist aber derzeit mein einziger Ansatz. Grundsätzlich würde ich aber behaupten, dass keine Fallunterscheidung nötig ist.

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