gleichmäßige Stetigkeit beweisen

07.01.2015, 17:53

Shinobi.Master

gleichmäßige Stetigkeit beweisen

Hallo Mathekaiser,

ich habe ein paar schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:

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Beweisen oder widerlegen Sie die gleichmäßige Stetigkeit der folgenden stetigen Funktionen.

(a) $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R, x \rightarrow \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R, x \rightarrow e^x \end{eqnarray*}$

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zu a) Ich weiß das f genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn für alle Epsilon > 0 ein Delta > 0 existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x, x^* \in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x^*|<Delta : |f(x)-f(x^*)|<Epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Doch wie mache ich damit weiter?

07.01.2015, 19:39

bijektion

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Zitat:

Doch wie mache ich damit weiter?

Versuch doch mal $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x')| \end{eqnarray*}$ abzuschätzen Augenzwinkern

07.01.2015, 19:53

Shinobi.Master

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Soll ich etwa $\begin{eqnarray*} x' = 0 \end{eqnarray*}$ setzen, sodass

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x')|= |f(x)-f(0)| = |f(x)| = |\sqrt{x}| \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2015, 19:55

bijektion

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Nein. Du kannst z.B. mit $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x')|=|\sqrt{x}-\sqrt{x'}|=|\frac{x-x'}{\sqrt{x}+\sqrt{x'}}| \end{eqnarray*}$ nutzen.

07.01.2015, 20:07

Shinobi.Master

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Müsste es nicht eigentlich

$\begin{eqnarray*} |\frac{f(x)-f(x')}{x-x'}| = |\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x'}}{x-x'}| \end{eqnarray*}$

heißen für die Stetigkeit?

07.01.2015, 21:01

Shinobi.Master

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Okay ich habe es jetzt raus, dankeschön Freude

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