Fehler bei Polynominterpolation Beweis Verständnisproblem

07.01.2015, 18:51	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler bei Polynominterpolation Beweis Verständnisproblem Hey Leute, ich habe ein Verständnisproblem bei folgendem Beweis: Satz: Sei $\begin{eqnarray} f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine beliebige Funktion. $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ sei das Interpolationspolynom zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in den Stützstellen $\begin{eqnarray} x_0,..,x_n \in [a,b] \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \max_{x \in [a,b]}\left \| f(x)-p(x) \right \| \leq (1+\Lambda_n ) \max_{x \in [a,b]} \left\| f(x)-q(x) \right \| \end{eqnarray}$ für alle Polynome $\begin{eqnarray} q \in P_n \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ein beliebiges Polynom vom Grad \leq n. Wir schreiben $\begin{eqnarray} f-p=(f-q)+(q-p) \end{eqnarray}$ Nach Satz 2.9 mit $\begin{eqnarray} y_i=f(x_i) \end{eqnarray}$ und \bar{y_i}=q(x_i) (q ist das Interpolationspolynom zu sich selbst) gilt: $\begin{eqnarray} \max_{x \in [a,b]}\left \| p(x)-q(x) \right \| \leq \Lambda_n \max_{i=0,...,n} \left\| f(x_i)-q(x_i) \right \| \leq \Lambda_n \max_{x \in [a,b]}\left \| f(x)-q(x) \right \| \end{eqnarray}$ Die Behauptung folgt somit aus der Dreiecksungleichung. Meine Frage: Wo genau tritt den die Dreiecksungleichung auf? Also ich sehe das nicht so ganz, dass mit der Dreiecksungleichung die Behauptung selbst folgt. Unter Dreiecksungleichung verstehe ich erst einmal nur: $\begin{eqnarray} \left \| x+y \right \| \leq \left \| x \right \| +\left \| y \right \| \end{eqnarray}$ Hoffe ihr könnt mir helfen.
07.01.2015, 18:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist da ja noch nicht fertig. Du willst $\begin{eqnarray} \max_{x \in [a,b]} \| f(x) - p(x) \| \end{eqnarray}$ abschätzen. Das tust du mit der Dreiecksungleichung. Oben wurde deswegen auch schon $\begin{eqnarray} f - p = (f-q) + (q-p) \end{eqnarray}$ geschrieben.

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