Konvex-Stetigkeit

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Konvex-Stetigkeit
Jede in einen offenen Intervall konvexe Funktion ist stetig


Meine Ideen:
beliebig
Da D offen ist gilt für jeden Punkt a:
Fall 1:
Wegen der Offenheit von D:
Sei
Wegen Konvexität ist
Wähle


Da folgt
Wegen Konvexität ist



Folgt daraus nicht schon die Lipschitzstetigkeit von f wenn ist??? Ich hab das Gefühl ich mach das ganz falsch... Hammer
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub mein Fehler ist, dass bei mir der Punkt x auch nicht fest ist sondern wandert im Intervall??

LG
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht was hier Lipschitzstetigkeit impliziert. A priori sind beide Seiten für u gegen y unbeschränkt.

Edit: Ahso, die rechte Seite ist natürlich unabhängig von x \to y, aber so hast du nur eine untere Schranke. Du brauchst noch eine obere, damit die Differenzenquotiten beschränkt sind.

Edit 2: Für Beschränktheit der Differenzenquotienten in x und y darf die untere Schranke natürlich nicht von y abhängen. Aktuell hast du ein Problem wenn x,y und u nahe beinander sind.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir vlt. einen Tipp geben sodass ich einen richtigen Ansatz habe?
Ich denke die Idee die Lipschitz-stetigkeit zu zeigen ist genauso wie die Anwendung der Konvexität in dieser Form richtig. Jetzt fehlt mir nur das richtige DrumherumAugenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes sollte man bemerken, dass Lipschitzstetigkeit nicht gefolgert werden kann. Siehe oder . Was in der Tat stimmt ist lokale Lipschitzstetigkeit, also sei kompakt und . Es reicht für geeignete a,b zu betrachten.

Jetzt willst du uniform nach oben und nach unten abschätzen. Dafür willst du Differenzenquotienten benutzen, die weder von x noch y abhängen. Wie man geeignete Zahlen findet deutet sich dadurch an, dass , da D offen eine wichtige Voraussetzung für die Folgerung ist.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Nach deiner Definition von K:
Ich wähle mit d.h.


Aus Konvexität,






Aus Konvexität,





Darauf folgt
Analog hab ich gezeigt
Insgesamt

Jetzt hab ich noch eine Frage. Wir haben ja nun die Lipschitzstetigkeit in jedem kompakten Intervall gezeigt. Wir sollen aber zeigen, dass f im offenen Intervall D stetig ist. Welche Überlegungen brauch ich damit auch dafür f stetig ist folgern kann?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, sieht gut aus!

Für Stetigkeit muss man nur bemerken, dass es eine lokale Eigenschaft ist. Du willst zeigen, dass es in allen stetig ist. D.h. für y nahe genug an x muss f(x) nahe an f(y) sein. Das liefert dir aber die lokale Lipschitzstetigkeit, sobald du eine kompakte Menge um x gewählt hast.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke füe die Antwort. Für mich bleibt noch eineFrage:
Für ein offenes Intervall gilt ja, dass man um jeden Punkt eine Epsilonumgebung wählen kann die ganz in dem offenen Intervall liegt. Aber du sagst, dass sogar die Randpunkte dieser Epsilonumgebung im offenen Intervall liegen und das ist mir neu.

Du verwendest doch:Sei ein offenes Intervall, und beliebig so um x sodass

LG
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das folgt ganz leicht. Falls , dann .
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, manchmal kann man sich nur am Kopf greifen..
Danke für die Hilfe. Schönen Sonntag noch!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ebenso Wink
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