Komplexer Vektorraum Multiplikation , reell-lineare Abbildung

08.01.2015, 15:00	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexer Vektorraum Multiplikation , reell-lineare Abbildung Meine Frage: Hallo, Es sei V ein reeller Vektorraum und W = V + V (Kreis um das Additionssymbol). Man definiere eine Multiplikation von Vektoren (u,v) aus W mit komplexen zahlen x+iy durch (x + iy) * (u,v) = (xu - yv , xv + yu) Ich soll zeigen, dass W damit zu einem komplexen Vektorraum wird und die durch v -> (v,0) definierte abbildung j : V -> W reell-linear ist. zusätzlich soll gezeigt werden, dass für jeden komplexen Vektorraum Z und jede reell-lineare Abbildung f: V -> Z genau eine komplex lineare Abbildung g : W -> Z existiert sodass f = g ° j (Verknüpfungssymbol) ist. Meine Ideen: nun die eigenschaften eines Vektorraums sind 1) W nicht-leer bzw. 0 in W 2) Für alle w, w´ gilt w + w´ in W 3) Für k aus K gilt k*w in K allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich das auf diesen Vektoraum W übertragen soll?? die Skalarmultiplikation ist doch schon vorgegeben, also ist 3) gezeigt, richtig?? Muss ich für 2) einfach w +w´= (u,v) + (u´,v´) = (u+u´, v+v´) aus W schreiben, da u+u´ aus V und v+v´ aus V gilt und damit dieses 2-Tupel in W liegt?? zu 1): V ist reeller vektorraum, also gilt doch 0 in V , und damit doch (0,0) in W ??? Oder ist das nicht korrekt?? Übersehe ich etwas?? und wie zeige ich die anderen Aussagen? wie zeige ich die Existenz dieser komplex linearen abbildung?? ich komme hier nicht weiter. Viele Grüße Widderchen
09.01.2015, 11:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ideen beziehen sich nur auf das Untervektorraumkriterium, W ist aber keine Teilmenge von V, das funktioniert also so nicht. Antwort auf alle deine Fragen gibt die "Vorlesung Lineare Algebra 2, 2. Stunde", "Komplexifizierung eines reellen Vektorraums", zu finden auf dem Timms-Server, Sommer-Semester 2014 : http://timmsrc.uni-tuebingen.de/Player/P...02_lineal2_0001
09.01.2015, 15:19	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, zu zeigen ist also, dass W = V x V ein komplexer Vektorraum ist. dazu wähle ich mir eine Basis aus V, nenne ich sie mal v1, ..., vn . Dann existieren rellwertige koeffizienten l (1) , ... , l (n) , sodass für einen beliebigen Vektor v aus V gilt : v = l(1)v1 + ... + l(n)vn soweit klar. Nun muss gezeigt werden, dass diese IR-Basis von V eine C-Basis von W ist, verstehe ich das richtig??? Die Multiplikation in W folgt einfach aus der Tatsache, dass (x+iy) * (u,v) = (x + iy)* (u + iv) = xu - yv + i (xv + yu) ergibt für w = (u,v) = u + iv u,v aus V Ich glaube, dieses Problem hatte ich schonmal in einem vorigen Übungszettel. es existieren also komplexe Koeffizienten z1, .... , zn wobei z(k) = l(k) + i m(k) für l(k) , m(k) aus IR für alle k = 1,...,n sodass für einen Vektor w aus W gilt: w = z(1)v1 + ... + z(n)vn = (l(1) + i m(k))* v1 + ... + (l(n) + i m(n))vn daraus ergibt sich durch multiplizieren und Sortieren , dass v1, .... , vn , iv1, ... , i*vn ............ Moment mal, ist das nicht eine IR-Basis von V ??? zumindest hatte ich das in der letzten Übungsaufgabe gezeigt. Jetzt bin ich verwirrt. Der Dozent im Video hatte zwar den Satz formuliert, aber im Beweis irgendetwas anderes gezeigt. Zumindest war das mein Eindruck. Ich habe die Beweisschritte zwar nachvollziehen können, aber er hatte beispielsweise nicht gezeigt, dass v -> (v,0) eine reell-lineare Abbildung, oder irre ich mich??? Aber dennoch, vielen dank für den Link, Elvis. Widderchen
09.01.2015, 15:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ist alles ganz einfach, man muss nur sorgfältig arbeiten. Professor Anton Deitmar (Uni Tübingen) präsentiert hervorragende Vorlesungen, ich schätze vor allem die Art und Weise, wie er Sinnzusammenhänge anschaulich macht, in den Details ist er nicht immer ganz frei von einem Hauch von Chaos.
10.01.2015, 19:12	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also damit ich das richtig verstehe. Ich muss doch die Axiome eines Vektorraums für W überprüfen. Das heißt also: Das Assoziativgesetz, Existenz eines neutralen Elementes, additiv inverses Element und das Kommutativgesetz in W (Eigenschaften der Vektoraddition) und alle zugehörigen Eigenschaften der Skalarmultiplikation inklusive Neutralität des skalaren Einselementes in meinem Körper K. So hat es zumindest Professor Deitmar in der LA 2 - Vorlesung angedeutet. In der Vorlesung hat er im Grunde doch bewiesen, dass jeder C-Vektorraum ein R-Vektorraum ist, die zugehörige Dimensionsformel bewiesen und die Drehstreckungsmatrizen eingeführt. Dass v -> (v,0) eine rell-lineare Abbildung ist, deutet er ja nur durch die Klassifizierung W = V + iV = V x {0} + {0} x V an, aber beweist es nicht. Mir ist klar dass diese Abbildung wohldefiniert ist, da dann einfach jeder Vektor v aus V(IR) dadurch klassifiziert wird, dass der Imaginärteil der Koeffizienten bei der Linearkombination dieses Vektors verschwindet. Ich hoffe, ich habe das so richtig formuliert. Wie zeige ich aber nun die Linearität dieser Abbildung j ??? Muss ich j einfach auf die Eigenschaften einer linearen Abbildung prüfen, genügt das so? Also: Für u = k(1)v(1) + k(2)v(2) v(1) , v(2) aus V k(1) , k(2) aus IR muss ich folgern, dass j (u) = j (k(1)v(1) + k(2)v(2)) = k(1) j (v(1)) + k(2) * j (v(2)) = k(1)* (v(1) , 0) + k(2)*(v(2),0) gilt ????? Ich bin mir nicht sicher. Vielen Dank Widderchen
11.01.2015, 12:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, man wünscht sich von Dir, dass Du ganz viel arbeitest. Im Prinzip ist alles ganz einfach, aber es muss getan werden. Wenn Du Dir bitte angewöhnen könntest, Latex zu benutzen, das heißt hier im Matheboard "Formeleditor" und steht rechts unter "Werkzeuge", dann würde die Zusammenarbeit mit Dir noch mehr Freude bereiten, weil Deine Beiträge dann sehr viel leichter und schneller lesbar wären. Deine Formel sähe dann z.B. so aus : $\begin{eqnarray} v_1,v_2 \in V, k_1,k_2 \in \mathbb R,u=k_1\cdot v_1+k_2\cdot v_2\Rightarrow j(u)= j(k_1 \cdot v_1 + k_2 \cdot v_2) = k_1 \cdot j(v_1) + k_2 \cdot j (v_2) = k_1 \cdot (v_2 , 0) + k_2 \cdot (v_2,0) \end{eqnarray}$
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11.01.2015, 22:25	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe die 8 Axiome für den C-Vektorraum nachgewiesen (4 bezüglich der Vektoraddition auf W, 4 bzgl. der Skalarmultilplikation auf W) . Damit ist W ein C-Vektorraum. Ich denke, es ist in Ordnung, diese nicht in diesem Forum zu behandeln, da ich daraus "nichts lernen würde" [vgl. Zitat von Professor Anton Deitmar, Lineare Algebra 2 Vorlesung, Uni Tübingen] . Zusätzlich habe ich die IR-Linearität der Abbildung j nachgewiesen. Zeige Homogenität und Additivität von j: Sei $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R , v \in V<br /> j(a \cdot v) = (a\cdot v,0) = (a \cdot v - zero \cdot u , zero \cdot u + zero \cdot v) = (a + i \cdot zero) \cdot (v,u) = a \cdot (v,0) = a \cdot j(v) <br /> \end{eqnarray}$ ,wobei u als der Nullvektor aus V gewählt wurde. Zeige Additivität von j : $\begin{eqnarray} j(v + w) = (v + w,0) = (v + w , 0 + 0) = (v,0) + (w,0) = j(v) + j(w) \end{eqnarray}$ für alle v , w aus V . Damit ist die Linearität von j bewiesen. Allerdings weiß ich noch nicht, wie ich zeigen soll, dass für jeden komplexen Vektorraum Z und jede reell-lineare Abbildung f : V -> Z genau eine komplex lineare Abbildung g : W -> Z existiert, sodass f die Verknüpfung von g und j ist. Professor Deitmar hat mir da auch keinen erkennbaren Hinweis gegeben oder habe ich irgendetwas übersehen??? Viele Grüße Widderchen kgV: Latex repariert
13.01.2015, 21:35	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich benötige noch Hilfe zur Bearbeitung des letzten Teils dieser Aufgabe: Ich habe dazu das folgende kommutative Diagramm erstellt: j V ---------------------> W \ / f \ / g \ / Z <- -- Dabei gilt j(v) = (v,0) für alle v aus V (V IR-Vektorraum). f ist eine lineare Abbildung von V nach Z . g soll eine komplex-lineare Abbldung sein, das heißt : $\begin{eqnarray} g(u + i \cdot v) = g(u) + i\cdot g(v)<br /> <br /> \forall (u,v) \in W \end{eqnarray}$ Nun bilde ich aber zuerst $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ über j auf (v,0) ab. Das heißt also: $\begin{eqnarray} j(v) = (v,0) \end{eqnarray}$ . Wende nun g auf das Bild von j an, also auf j(v): $\begin{eqnarray} g(j(v)) = g((v,0)) = g(v) + i \cdot g(0) = g(v) =: f(v) \end{eqnarray}$ Ist dies dann meine Abbildung f??? Ich bin mir nicht sicher, ob das eine hinreichend gute Lösung ist. Ich benötige dringend Hilfe. Viele Grüße Widderchen

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