Lineare Hülle, Dimension, Beweis

08.01.2015, 15:33

schachtelkopf

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Lineare Hülle, Dimension, Beweis

Meine Frage:
Hey Leute smile

smile

folgendes Problem: Ich möchte bzw. soll zeigen;

Gegeben ist ein Vektorraum über dem Körper K mit, $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n,x \in V \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} x \in [x_1,...,x_n] \Longleftrightarrow [x_1,...,x_n]=[x,x_1,..x_n] \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} x \in [x_1,...,x_n] \Longleftrightarrow \dim([x_1,...,x_n])= \dim([x,x_1,...,x_n]) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
also die 2) habe ich noch nicht gemacht bzw mir gedanken dazu gemacht... möchte erst mal die 1) fertigstellen.

ich hab das mal so angefangen...

$\begin{eqnarray*} "\Rightarrow" \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in [x_1,...,x_n] &\Rightarrow& \exists \ \lambda_1,...,\lambda_n \ mit \ x=\lambda_1 x_1+...+ \lambda_n x_n \\ &\Rightarrow& x \in [x,x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$

meine begründung für das was ich gemacht habe und wobei ich mir unsicher bin ist: dadurch das sich x als linearkombination schreiben lässt und die lineare hülle die menge aller linearkombinationen ist, ist dieses x in der linearen hülle wo das x selbst drinnen ist, auch wieder enthalten. Stimmt das soweit oder liege ich total falsch ?

wär klasse wenn sich jemand meiner annimmt ...
lg schachtelkopf smile

smile

09.01.2015, 11:53

Elvis

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Das hilft nichts, denn $\begin{eqnarray*} x\in [x,x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} x=x \end{eqnarray*}$ schon klar. Du musst dir erst mal klarmachen, was du beweisen möchtest.

09.01.2015, 14:39

schachtelkopf

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verwirrt

ich verstehs leider nicht ...

09.01.2015, 15:08

Elvis

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Bei 1) und 2) sind logische Äquivalenzen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Also jeweils zwei Implikationen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ .
Bei 1) musst du auf der rechten Seite eine Mengengleichheit, d.h. die beiden Teilmengeneinschaften (linke Menge Teilmenge der rechten Menge, rechte Menge Teilmenge der linken Menge) und bei 2) musst du Gleichheit der Dimensionen zeigen.

Mir ist klar, dass 1) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ... sofort 2) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ... impliziert, denn wenn die Vektorräume gleich sind, sind auch ihre Dimensionen gleich. Daher genügt es, nach dem Beweis von 1) bei 2) die Implikation $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ zu beweisen.

09.01.2015, 15:25

schachtelkopf

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ahhh ok .... Finger1

Finger1

jetzt muss ich also bei 1) noch zeigen dass $\begin{eqnarray*} [x_1,...,x_n]=[x,x_1,..x_n] \end{eqnarray*}$
dann hätte ich ja die $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ richtung fertig ? und dann halt noch $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$

09.01.2015, 15:28

Elvis

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Ja.

(Des Rätsels Lösung: Totengräber.)

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09.01.2015, 15:41

schachtelkopf

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(Des Rätsels Lösung: Totengräber.) Freude

Freude

ok also ich würde das dann mal so anpacken...

$\begin{eqnarray*} sei \ y \in [x,x_1,...,x_n] \Rightarrow y= \lambda x+ \lambda_1 x_1+...+ \lambda_n x_n \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich noch zeigen dass das y bzw die linearkombination in der linearen hülle [x_1,...,x_n] steckt und das mache ich indem ich sie gleichsetze.

also: $\begin{eqnarray*} \lambda x+ \lambda_1 x_1+...+ \lambda_n x_n = \lambda_1 x_1+...+ \lambda_n x_n \end{eqnarray*}$

kann ich das so machen ?

09.01.2015, 18:45

Elvis

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Nein. Aber aus den beiden Gleichungen $\begin{eqnarray*} y=\lambda x+\lambda_1x_1+...+\lambda_nx_n, x=\mu_1x_1+...+\mu_nx_n \end{eqnarray*}$ lässt sich etwas machen. Der Trick ist doch gerade, dass aus der Voraussetzung über x die Teilmengenbeziehung folgt.

09.01.2015, 19:06

schachtelkopf

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verwirrt

mhh

also meinst du das ich dann

$\begin{eqnarray*} y=\lambda ( \mu_1x_1+...+\mu_nx_n)+\lambda_1x_1+...+\lambda_nx_n \end{eqnarray*}$ so darstelle weil ja laut vorraussetzung $\begin{eqnarray*} x \in [x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ enthalten ist..und somit x eine linearkombination.

dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} y &=& \lambda \mu_1x_1+...+\lambda \mu_nx_n+\lambda_1x_1+...+\lambda_nx_n \\ &=& (\lambda \mu_1 + \lambda_1) x_1+...+(\lambda \mu_n +\lambda_n) x_n \end{eqnarray*}$

und jetzt hab ich ja y als linearkombination nur aus $\begin{eqnarray*} [x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ dargestellt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow y \in [x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$

09.01.2015, 19:49

Elvis

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Genau so geht das, und damit hast du einen Teil der Aufgabe gelöst. smile

smile

09.01.2015, 20:07

schachtelkopf

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jetzt muss ich ja noch zeigen $\begin{eqnarray*} [x_1,...,x_n] \subseteq [x,x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ das müsste doch aber sowieso gelten da $\begin{eqnarray*} \{ x_1,...,x_n \} \subseteq [x,x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ offensichtlich gilt, und weil des $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine linearkombination ist.

oder zeige ich das wieder durch ein belibiges element ?

09.01.2015, 20:48

RavenOnJ

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Zitat:

Original von schachtelkopf
und weil des $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine linearkombination ist.

Diese Aussage ist nicht erforderlich. Es gilt die Folgerung
$\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^n\lambda_i x_i=0\cdot x+\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i x_i\Rightarrow \langle x_1,\cdots,x_n\rangle\subseteq\langle x,x_1,\cdots,x_n\rangle \end{align*}$ .

09.01.2015, 21:18

schachtelkopf

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ah ok danke smile

smile

bekomme ich einen tipp das ich zeige das aus $\begin{eqnarray*} [x_1,...,x_n]=[x,x_1,..,x_n] \ \Longrightarrow \ x \in [x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ folgt?

10.01.2015, 01:18

RavenOnJ

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Zitat:

Original von schachtelkopf

bekomme ich einen tipp das ich zeige das aus $\begin{eqnarray*} [x_1,...,x_n]=[x,x_1,..,x_n] \ \Longrightarrow \ x \in [x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ folgt?

Aber das ist doch mit der Gleichheit der beiden Spans bereits gezeigt. Du kannst zu einer Erzeugendenmenge eines Vektorraums immer ein weiteres Element aus diesem VR hinzunehmen ohne ihn zu ändern, da dieses Element linear von den anderen Erzeugenden abhängig sein muss. Konkret:
$\begin{align*} \langle x_1,...,x_n\rangle =\langle x,x_1,..,x_n\rangle \Leftrightarrow \forall y\in \langle x,x_1,..,x_n\rangle: y\in \langle x_1,..,x_n\rangle \Rightarrow x\in \langle x_1,..,x_n\rangle \end{align*}$ .

10.01.2015, 13:10

schachtelkopf

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ahhh sehr gut .... jetzt verstehe ich smile

smile

ich versuch mich dann mal an der 2) vll bekomme ich ja des hin Erstaunt2

Erstaunt2

10.01.2015, 13:29

schachtelkopf

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also die $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ brauch ich ja nicht mehr machen denn es gilt 2 dimensionen sind gleich wenn ihre vektorräume gleich sind .. was wir schon bei 1) gezeigt haben. (das die vektorräume gleich sind)

und $\begin{eqnarray*} \Longleftarrow \end{eqnarray*}$ folgt doch auch mit der selben argumentation von dir.... da jetzt die Dimensionen gleich sind folgt das die vektorräume gleich sind ... und nun können wir wieder vektoren hinzufügen ohne dabei was zu ändern ...

das müsste es ja dann schon gewesen sein ? verwirrt

verwirrt

oder liege ich falsch ?

10.01.2015, 18:02

Elvis

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Das Ganze sauber aufschreiben, dann bist du fertig.

11.01.2015, 11:15

schachtelkopf

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ok sehr gut Freude

Freude

ich danke euch 2 Gott

Gott

1

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