Ableitung der Umkehrfunktion

08.01.2015, 15:50

Tangens Hyperbolicus

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Ableitung der Umkehrfunktion

Guten Tag.
Für die Uni muss ich eine Aufgabe bzgl. Area- bzw. Hyperbelfunktionen lösen. 4 von 5 Aufgaben habe ich (leider) schon vor den Weihnachtsferien erledigt, weshalb mir das Thema nach der Pause nicht mehr so geläufig ist, wie davor. Trotzdem habe ich mir schon ein paar Stunden Gedanken gemacht und bin nicht weiter gekommen.

Zitat:

Es bezeichnet $\begin{eqnarray*} artanh(x)=tanh^{-1}(x), |x|<1 \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus.
Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} artanh'(x)=\frac{1}{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$ mit der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion.

Nun war mein Plan also:
1. Ableitung von $\begin{eqnarray*} tanh(x) \end{eqnarray*}$ bilden.
2. $\begin{eqnarray*} tanh(x) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umstellen und in die Ableitung aus 1. einsetzen.
3. $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Gleichung aus 2. vertauschen.
4. Sehen, ob ich das ganze zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$ umformen kann.

Wie weit ich gekommen bin:
1. Ich konnte $\begin{eqnarray*} tanh'(x)=sech^{2}(x) \end{eqnarray*}$ berechnen.
2. Beim Umstellen von $\begin{eqnarray*} tanh(x) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bin ich hängen geblieben.
Bisher habe ich das Folgende gemacht, leider benötige ich jetzt den Logarithmus, der gar nicht mein Fall ist.
$\begin{eqnarray*} tanh(x)=y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}<br /> <br /> y=\frac{e^{x}-\frac{1}{e^{x}}}{e^{x}+\frac{1}{e^{x}}}<br /> <br /> y=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}<br /> <br /> y \cdot (e^{2x}+1)=e^{2x}-1<br /> <br /> e^{2x}(y-1)=-1-y \end{eqnarray*}$

Meine Fragen sind:
1. Wie stelle ich $\begin{eqnarray*} e^{2x}(y-1)=-1-y \end{eqnarray*}$ nach x um?
2. Ist mein Plan im Prinzip überhaupt zielführend?

Ich bin für jede Hilfe dankbar (bitte verweist bei 1. nicht einfach auf die Logarithmusregeln, die habe ich mir auch schon ohne Erfolg angesehen).

Außerdem danke im Voraus!

LG,

Tangens Hyperbolicus

08.01.2015, 17:10

Steffen Bühler

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RE: Ableitung der Umkehrfunktion
Willkommen im Matheboard!

Zitat:

Original von Tangens Hyperbolicus
1. Wie stelle ich $\begin{eqnarray*} e^{2x}(y-1)=-1-y \end{eqnarray*}$ nach x um?

Auf beiden Seiten durch y-1 dividieren, dann auf beiden Seiten den ln anwenden.

Zitat:

Original von Tangens Hyperbolicus
2. Ist mein Plan im Prinzip überhaupt zielführend?

Ja, in der Tat.

Viele Grüße
Steffen

10.01.2015, 13:38

Tangens Hyperbolicus

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Danke für die fixe Antwort! Heute bin ich zum Weiterrechnen gekommen, nur leider scheint der Knoten nicht zu platzen.

Nun habe ich $\begin{eqnarray*} tanh(x) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umgestellt und gemäß der Anweisung $\begin{eqnarray*} x=\frac{ln(\frac{-1-y}{y-1})}{2} \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Das habe ich in $\begin{eqnarray*} sech^{2}(x) \end{eqnarray*}$ eingesetzt und $\begin{eqnarray*} sech^{2}(x)=\frac{4}{e^{ln(\frac{-1-y}{y-1})}+2+e^{-ln(\frac{-1-y}{y-1})}} \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Inwiefern kann ich jetzt $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch, wie im 3. Schritt geplant, vertauschen?

Soll ich $\begin{eqnarray*} sech^{2}(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ln(\frac{-1-y}{y-1}) \end{eqnarray*}$ tauschen? Oder $\begin{eqnarray*} sech^{2}(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?

Wieder mal danke im Voraus.

LG,
Tangens Hyperbolicus

10.01.2015, 14:03

Steffen Bühler

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Hint:

$\begin{align*} e^{ \ln x }=x \end{align*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße
Steffen

10.01.2015, 14:10

Tangens Hyperbolicus

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Und $\begin{eqnarray*} e^{-ln(x)}=-x \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Hab es, $\begin{eqnarray*} e^{-ln(x)}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

10.01.2015, 14:23

Tangens Hyperbolicus

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Dann steht da jetzt

$\begin{eqnarray*} sech^{2}(x)=\frac{4}{\frac{-1-y}{y-1}+2+\frac{y-1}{-1-y}} \end{eqnarray*}$ .

Und was soll ich jetzt vertauschen?

(Die ganzen Verwinkelungen im Sinne von "x der Ableitung der Umkehrfunktion in ... eingesetzt" verwirren mich.)

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10.01.2015, 16:04

Leopold

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Viel zu umständlich. Es ist gar nicht erforderlich, das Ganze bis auf die Exponentialfunktion herunterzubrechen. Eigentlich muß man nur Folgendes wissen:

$\begin{align*} \tanh = \frac{\sinh}{\cosh} \end{align*}$

$\begin{align*} \sinh' = \cosh \, , \ \ \cosh' = \sinh \end{align*}$

Das Argument habe ich jeweils weggelassen, weil diese Beziehungen für die Funktionen als ganze gelten. Und jetzt berechnet man als erstes die Ableitung des tangens hyperbolicus. Nach der Quotientenregel gilt:

$\begin{align*} \tanh' = \frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2} = 1 - \frac{\sinh^2}{\cosh^2} = 1 - \left( \frac{\sinh}{\cosh} \right)^2 = 1 - \tanh^2 \end{align*}$

Und mit dieser Darstellung der Ableitung kommt man sofort ans Ziel. Man beginnt mit

$\begin{align*} y = \operatorname{artanh} x \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{(*)} \ \ x = \tanh y \end{align*}$

In dieser Beziehung ist $\begin{align*} x \in (-1,1) \, , \ \ y \in (-\infty,\infty) \end{align*}$ vorausgesetzt (Definitions- und Wertebereich der Funktionen beachten).

Jetzt differenziert man. Wie eben gezeigt gilt:

$\begin{align*} \frac{\dd x}{\dd y} = 1 - \tanh^2 y \end{align*}$

Und jetzt muß man nur noch auf beiden Seiten zum Kehrwert übergehen und $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ beachten.

Nach demselben Muster kann man etwa auch die Ableitung des Arcustangens aus der des Tangens bestimmen.

10.01.2015, 16:24

Steffen Bühler

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Ok, mal zum Schema:

Du hast eine Funktion, sagen wir $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ . Von der willst Du die Ableitung.

Erst bildest Du die Umkehrfunktion: $\begin{eqnarray*} f^{-1}=x^2 \end{eqnarray*}$

Dann deren Ableitung: $\begin{eqnarray*} (f^{-1})' =2x \end{eqnarray*}$

Dann den Kehrwert davon: $\begin{eqnarray*} \frac 1 {(f^{-1} )' }=\frac 1 {2x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt für x die Ursprungsfunktion! Dann hast Du $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac 1 {2 \sqrt x} \end{eqnarray*}$

Jetzt mach dasselbe für f(x)=artanh(x). Ich wollte Dir bisher nicht dreinreden, aber Du würdest Dich leichter tun, statt $\begin{eqnarray*} sech^2(x) \end{eqnarray*}$ die Identität $\begin{eqnarray*} 1-tanh^2(x) \end{eqnarray*}$ zu verwenden.

Viele Grüße
Steffen

10.01.2015, 20:19

Tangens Hyperbolicus

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Wenn ich den Anweisungen folge habe ich das Folgende:

$\begin{eqnarray*} f(x)=y=\frac{1}{2}ln(\frac{1+x}{1-x})<br /> <br /> x=\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}<br /> <br /> f^{-1}(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}<br /> <br /> (f^{-1}(x))'=\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^{2}}<br /> <br /> \frac{1}{(f^{-1}(x))'}=\frac{(1+e^{2x})^{2}}{4e^{2x}}<br /> <br /> \frac{1}{(f^{-1}(x))'}=\frac{(1+{\frac{1+x}{1-x})}^{2}}{4(\frac{1+x}{1-x})}<br /> <br /> \frac{1}{(f^{-1}(x))'}=\frac{1+\frac{2(1+x)}{1-x}+\frac{x^{2}+2x+1}{1-2x+x^{2}}}{4(\frac{1+x}{1-x})}<br /> \end{eqnarray*}$

Inwiefern hilft das weiter? ;-)

LG,
Tangens Hyperbolicus

10.01.2015, 20:42

Steffen Bühler

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Wie gesagt, setze $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=tanh(x) \end{eqnarray*}$ , die Ableitung dann wie von uns beiden wärmstens empfohlen. Befolge stur das Schema, dann löst sich einiges auf ...

10.01.2015, 22:02

Tangens Hyperbolicus

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Ich glaube, es ist gerade ein kleiner Knoten geplatzt. Ich weiß jetzt zumindest, was hier die ganze Zeit gerechnet wird.

Ich melde mich zurück, wenn ich das ganze nochmal mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)'=1-tanh^{2}(x) \end{eqnarray*}$ durchgerechnet habe oder auf den ersten Fehler gestoßen bin.

LG,
Tangens Hyperbolicus

10.01.2015, 23:21

Tangens Hyperbolicus

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Okay. Ich glaube ich bin nah dran. Aber ich habe nicht das richtige Ergebnis. Big Laugh

Big Laugh

Mein Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} f(x)=artanh(x)<br /> f^{-1}(x)=tanh(x)<br /> (f^{-1}(x))'=1-tanh^{2}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \end{eqnarray*}$ |mit $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ erweitern

$\begin{eqnarray*} y=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \end{eqnarray*}$ |mit Nenner multiplizieren

$\begin{eqnarray*} y(e^{2x}+1)=e^{2x}-1<br /> <br /> e^{2x}(y-1)=-1-y \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \cdot (y-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x}=\frac{-1-y}{y-1} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}ln(\frac{-1-y}{y-1}) \end{eqnarray*}$

Nun wird $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))' \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))'=1-(\frac{\sqrt(\frac{-1-y}{y-1})-\frac{1}{\sqrt(\frac{-1-y}{y-1})}}{\sqrt(\frac{-1-y}{y-1})+\frac{1}{\sqrt(\frac{-1-y}{y-1})}}) \end{eqnarray*}$ | mit $\begin{eqnarray*} \sqrt(\frac{-1-y}{y-1}) \end{eqnarray*}$ erweitern

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))'=1-\frac{\frac{-1-y}{y-1}-1}{\frac{-1-y}{y-1}+1} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ mit Nenner erweitern

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))'=\frac{\frac{-1-y}{y-1}+1}{\frac{-1-y}{y-1}+1}-\frac{\frac{-1-y}{y-1}-1}{\frac{-1-y}{y-1}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))'=\frac{2}{\frac{-1-y}{y-1}+1} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (y-1) \end{eqnarray*}$ erweitern

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))'=\frac{2}{\frac{-1-y}{y-1}+\frac{y-1}{y-1}}=\frac{2}{\frac{-2}{y-1}}=\frac{2y-2}{-2} \end{eqnarray*}$

Würde ich jetzt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ vertauschen und kürzen, käme $\begin{eqnarray*} -x+1 \end{eqnarray*}$ und durch den Kehrwert $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{-x+1} \end{eqnarray*}$ heraus. Aber das ist leider falsch.

Ich denke, dass ich irgendwo in den letzten 4 Zeilen einen Fehler gemacht habe.

Für vergangene Hilfe bin ich sehr dankbar und auf folgende sehr gespannt! :-)

Jetzt raucht mir der Kopf von dem ganzen Latex...

LG,

Tangens Hyperbolicus

10.01.2015, 23:33

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Tangens Hyperbolicus
$\begin{eqnarray*} f(x)=artanh(x)<br /> f^{-1}(x)=tanh(x)<br /> (f^{-1}(x))'=1-tanh^{2}(x) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin alles ok.

Und nun hör, wie gesagt, endlich auf, mit den e-Funktionen rumzuwurschteln.

Führe stur die nächsten zwei Schritte des Schemas aus und fertig.

10.01.2015, 23:40

Tangens Hyperbolicus

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Verstehe ich nicht. Wie kann ich z.B. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=tanh(x) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umstellen?

Gib mir mal einen Ansatz.

10.01.2015, 23:45

Steffen Bühler

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Du bildest die Umkehrfunktion. Hast Du.

Du leitest ab. Hast Du.

Du bildest den Kehrwert.

Du setzt artanhx für x ein.

Jetzt Du.

10.01.2015, 23:51

Tangens Hyperbolicus

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Demnach

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-tanh^{2}(artanh(x))} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht, worauf das hinaus läuft.

Edit: Laut wolframalpha ist $\begin{eqnarray*} tanh^{2}(artanh(x))=x^{2} \end{eqnarray*}$

Aber wieso ist das so?

10.01.2015, 23:57

Steffen Bühler

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Sehr gut! Und jetzt:

$\begin{eqnarray*} tanh^2(x)=tanh(x) \cdot tanh(x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} tanh ( artanh (x) )=x \end{eqnarray*}$

11.01.2015, 00:05

Tangens Hyperbolicus

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Oh. Na dann. Big Laugh

Big Laugh

Ich habe wohl 2 Fliegen mit einer Klappe geschlagen. 8h Hirnsport für die Katz und 3min Aufgabe gelöst.

Danke vielmals für die Hilfe, sogar so spät in der Nacht!

LG,

Tangens Hyperbolicus

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