Grenzwert einer Funktion x-> x0

08.01.2015, 18:36

mathNoop

Grenzwert einer Funktion x-> x0

Meine Frage:
Hallo liebes Forum smile

Also ich hänge bei dieser Aufgabe:

"Für den gegebenen Grenzwert g soll für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein
$\begin{eqnarray*} \delta(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ angegeben werden, so dass
$\begin{eqnarray*} | f(x) -g | < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle
$\begin{eqnarray*} | x - x_0 | < \delta(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x^2 -4}{x -2} <br /> g = 4 \end{eqnarray*}$

Hab auch noch ein Bild mit einer beispiel Aufgabe angehängt.
Das rot makierte Kästchen erschließt sich mir auch nicht, also woher unserer Prof das nimmt und was er da anstellt.

Bin für jede Hilfe dankbar smile

Meine Ideen:
Nun habe ich also erst
$\begin{eqnarray*} | f(x) -g | < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} | \frac{x^2 -4}{x -2} -4 | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = | \frac{x^2- 4x +4}{x -2} | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = | x -2 | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

So und meine eigentliche Frage stellt sich jetzt:

Wie wähle ich $\begin{eqnarray*} | x - x_0 | < \delta(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ?

Und wenn ich es habe, wie rechne ich dann damit ?

08.01.2015, 18:46

HAL 9000

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Der Screenshot enthält schon einen Fehler bei der Funktionsdarstellung:

Anscheinend ist nicht wie erst geschrieben $\begin{align*} f(x)=x^3-\frac{1}{x-1} \end{align*}$ gemeint, sondern $\begin{align*} f(x)=\frac{x^3-1}{x-1} \end{align*}$ .

Zur Abschätzung ganz hinten: Aus |x-1|<1 folgt $\begin{align*} 0<x<2 \end{align*}$ und damit $\begin{align*} 2<x+2<4 \end{align*}$ , das wird dann benutzt.

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Für deine Aufgabe hier ist es viel einfacher: Offenbar ist direkt $\begin{align*} \delta = \varepsilon \end{align*}$ wählbar, was angesichts der hier vorliegenden linearen Funktion $\begin{align*} f(x)=x+2 \end{align*}$ mit Anstieg 1 auch nicht weiter verwundert.

08.01.2015, 19:19

mathNoop

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Danke erstmal für die schnelle Antwort smile

Ja da hat sich im Script wohl ein Fehler eingeschlichen...

Okay aber da stellen sich mir ein paar Fragen.

1. Er wählt ja schon zu anfang
$\begin{eqnarray*} \delta = min\left\{1,\frac{\varepsilon}{4} \right\} \end{eqnarray*}$

Wie kommt er schon direkt darauf ? Kann man das irgendwo sehen oder abwägen ?

2. Wieso kannst du bei |x-1|<1 das Epsilon durch die 1 ersetzen ?

3. Wo und wie wird diese Abschätzung dann benutzt ?

4. Wie kann man denn bei meiner Aufgabe "offenbar" direkt $\begin{eqnarray*} \delta =\varepsilon \end{eqnarray*}$ wählen ? verwirrt

08.01.2015, 19:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathNoop
1. Er wählt ja schon zu anfang
$\begin{eqnarray*} \delta = min\left\{1,\frac{\varepsilon}{4} \right\} \end{eqnarray*}$

Wie kommt er schon direkt darauf ? Kann man das irgendwo sehen oder abwägen ?

Die Reihenfolge, in der es da steht, ist nicht unbedingt die Reihenfolge, in der man drauf kommt.

Es ist wohl eher so gelaufen:

$\begin{align*} |f(x)-3| = \ldots = |x-1|\cdot |x+2| \qquad (*) \end{align*}$

Wenn man das jetzt weiter via $\begin{align*} \ldots \leq C\cdot |x-1| \end{align*}$ mit einer passenden (von $\begin{align*} x \end{align*}$ unabhängigen) Konstante $\begin{align*} C>0 \end{align*}$ abschätzen will, muss man das $\begin{align*} |x+2| \end{align*}$ irgendwie bändigen - und das macht man hier, indem man eben $\begin{align*} |x-1|<1 \end{align*}$ fordert (man hätte außer 1 auch jeden beliebigen anderen positiven Wert nehmen können). Für diese $\begin{align*} x \end{align*}$ hat man dann ja (s.o.) $\begin{align*} x+2 = |x+2|<4 \end{align*}$ und kann somit (*) weiter abschätzen

$\begin{align*} \ldots \leq 4\cdot |x-1| \end{align*}$ .

Nun wählen wir $\begin{align*} \delta \end{align*}$ so, dass für alle $\begin{align*} |x-1|<\delta \end{align*}$ dieser Ausdruck ganz rechts $\begin{align*} <\varepsilon \end{align*}$ ist. Und das ist offenbar erreichbar durch Wahl von $\begin{align*} \delta=\frac{\varepsilon}{4} \end{align*}$ . Unsere zwischenzeitlichen Umformungen galten aber nur unter Nutzung von $\begin{align*} |x-1|<1 \end{align*}$ , also muss das $\begin{align*} \delta \end{align*}$ zusätzlich auch noch klein genug sein, dass diese Ungleichung auch noch erfüllt ist, so kommt man zur Wahl von $\begin{align*} \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{4}\right\} \end{align*}$ .

P.S.: Viel Text, hoffentlich lohnt es sich auch.

Zitat:

Original von mathNoop
2. Wieso kannst du bei |x-1|<1 das Epsilon durch die 1 ersetzen ?

Dergleichen habe ich nie gemacht.

Zitat:

Original von mathNoop
4. Wie kann man denn bei meiner Aufgabe "offenbar" direkt $\begin{eqnarray*} \delta =\varepsilon \end{eqnarray*}$ wählen ? verwirrt

Eine wirklich dumme Frage:

Wenn man ein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ angeben soll, so dass für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} |x-2|<\delta \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} |x-2|<\varepsilon \end{align*}$ gelten soll, dann liegt diese Antwort doch auf der Hand.

08.01.2015, 20:21

mathNoop

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Danke für die Schreibarbeit.

Ja ich denke schon das es mir etwas bringt, danke nur mit dem Abschätzen tue ich mich noch schwer der Rest kommt langsam.
Ich werde mich also jetzt nochmal durch ein paar Aufgabe beißen und komme dann wieder

Danke und schönen Abend noch Wink

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