Berechnung aller Schnittpunkte von 2 Funktionen

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08.01.2015, 21:42	Cableguy	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung aller Schnittpunkte von 2 Funktionen Meine Frage: Ich sitzte hier vor einer Aufgabe die ich einfach nicht gelöst bekomme. Aufgabenstellung: Berechnen Sie alle Schnittpunkte der Funktionen f(x)= sqrt(3)cos(2x), g(x)= sin(x)- sqrt(x) Meine Ideen:* Ich habe die 2 funktionen gleich gesetzt aber weiter als hier komme ich nicht. sqrt(3)* cos(2x)= sin(x)- sqrt(3); <=> 2* sqrt(3)= tan(x)/ cos(x); was hab ich übersehen?
08.01.2015, 22:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung aller Schnittpunkte von 2 Funktionen Ist $\begin{eqnarray} g(x)= \sin(x)- \sqrt{3} \end{eqnarray}$ oder etwa doch $\begin{eqnarray} g(x)= \sin(x)- \sqrt{x} \end{eqnarray}$ wie an Anfang? Im ersten Fall benutze $\begin{eqnarray} \cos^2(x)=1-\sin^2(x) \end{eqnarray}$
08.01.2015, 22:15	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie lautet deine Funktion g(x) nun?? g(x) = sin(x) - sqrt(x) oder g(x) = sin(x) - sqrt(3) ???? Deine Umformung kann ich leider nicht nachvollziehen. Vielleicht solltest du nochmal nachsehen, wie deine Funktionen f(x) und g(x) lauten. Viele Grüße Widderchen
08.01.2015, 23:09	CableGuy86	Auf diesen Beitrag antworten »
ja es ist g(x)= sin(x) - sqrt(3) hab das ergebnis jetzt auch raus... hat mit dem cos^2(x)= 1- sin^2(x) geklappt hatte es schon vorher soweit aber hab dann bei der p/q- formel ein Vorzeichen vergessen...^^ danke für die schnellen antworten
09.01.2015, 20:04	CableGuy86	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt von 2 Funktionen Hi, ich habe eine Aufgabe an der ich schon langsam verzweifle. Aufgabe: Bestimmen Sie alle Schnittpunkte dieser Funktionen $\begin{eqnarray} \! f(x) = \sin(x) - \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \! g(x) = \sqrt{3} \cos(2x) \end{eqnarray}$ Mein vorgehen ist wie folgt: $\begin{eqnarray} \sin(x) - \sqrt{3} = \sqrt{3} \cos(2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = \sqrt{3} \cos(2x) - \sin(x) + \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = \sqrt{3} (\cos^2(x) - \sin^2(x))- \sin(x) + \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = \sqrt{3} (1 - \sin^2(x) - \sin^2(x))- \sin(x) + \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = \sqrt{3} (1 - 2 \sin^2(x))- \sin(x) + \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \sin^2(x)- \sin(x) + \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 =- 2 \sqrt{3} \sin^2(x)- \sin(x) + 2 \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 =- 2\sqrt{3} ( \sin^{2}(x) + \frac {\sqrt{3}}{6} \sin(x) - 1) \end{eqnarray}$ Subst.: $\begin{eqnarray} \sin(x) = i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_{1/2} = \frac {-\sqrt{3} \pm 7 \sqrt{3}}{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_{1} = \frac {\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_{2} = - \frac {2 \sqrt{3}}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_{1} \end{eqnarray}$ passt aber $\begin{eqnarray} i_{2} \end{eqnarray}$ ist auserhalb des Definitionsberech vom $\begin{eqnarray} \arcsin() \end{eqnarray}$ . Wie bekomme ich den anderen Schnittpunkt?
09.01.2015, 20:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von 2 Funktionen Sagtest du nicht, du hättest das Ergebnis heraus? Und warum machst du einen neuen Thread auf? Wer sagt, dass die zweite Lösung der quadratischen Gleichung auch für die Resubstitution geeignet sein muss?
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09.01.2015, 20:44	CableGuy86	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von 2 Funktionen Sry ich bin neu hier, ich muss mich erst einbisschen zurechtfinden. Ich hoffe das es nicht all zu schlimm ist das ich nen neuen thread auf gemacht habe... Ich hab die Threads vereinigt. Steffen
09.01.2015, 20:59	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von 2 Funktionen Hm, irgendwie hatte ich im Kopf, dass du schon länger hier bist und es besser hättest wissen sollen. Da war ich dann wohl zu harsch Bitte um Entschuldigung. Schlimm ist das nicht, schöner wäre es gewesen, wenn es dort weiter gegangen wäre. Sei's drum. Zurück du deiner Frage @Steffen: Danke. Ich habe gerade ernsthaft an mir gezweifelt, weil mein link auf einmal auf die gleiche Seite führt
09.01.2015, 22:05	CableGuy86	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von 2 Funktionen Ahh ich glaube ich habe was. Mit dem $\begin{eqnarray} x = \frac {1}{3} \pi \end{eqnarray}$ habe ich ja auch das $\begin{eqnarray} \ g(\frac {1}{3} \pi) = \sin(\frac {1}{3} \pi) - \sqrt {3} = - \frac {\sqrt {3}}{2} \end{eqnarray}$ Die Funktion $\begin{eqnarray} \ g(x) \end{eqnarray}$ hat wären einer Perionde 2 mal diesen Wert. Ich hab mir das jetzt bei mir mit dem Einheitskreis aufgezeichnet und das wäre dann beim ersten mal bei dem Winkel $\begin{eqnarray} \frac {1}{3}\pi \end{eqnarray}$ und dann gespielgelt an der y- Achse des Einheitskreiß $\begin{eqnarray} \frac {2}{3}\pi \end{eqnarray}$ . Aber wie komme ich rechnerisch auf die $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray}$ ?
09.01.2015, 22:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von 2 Funktionen So sieht das gut aus Deine quadratische Gleichung liefert tatsächlich nur eine verwertbare Lösung. Die resultierende Gleichung $\begin{eqnarray} \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ hat mehrere Lösungen. Aus meiner Sicht spricht nichts gegen eine Herleitung am Einheitskreis. Wenn du rechnen willst: Aus $\begin{eqnarray} \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=\frac \pi 3 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \cos(x)=\frac 1 2 \end{eqnarray}$ (warum?). Jetzt hilft ein Additionstheorem für den Sinus weiter.
10.01.2015, 10:41	CableGuy86	Auf diesen Beitrag antworten »
glaube ich habs: $\begin{eqnarray} \sin(x) = \cos (x - \frac {\pi}{2}) \end{eqnarray}$ das heißt: $\begin{eqnarray} sin(x) = \frac {\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos (x - \frac {\pi}{2}) = \frac {\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \arccos (cos (x - \frac {\pi}{2})) =\arccos (\frac {\sqrt{3}}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x - \frac {\pi}{2} = \arccos (\frac {\sqrt{3}}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \arccos (\frac {\sqrt{3}}{2}) + \frac {\pi}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac {2}{3}\pi \end{eqnarray}$ aso eine Frage noch wie geht hier das Äquivalent- Zeichen, also im latex?
10.01.2015, 11:30	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Liste mathematischer Symbole findest du hier.
10.01.2015, 11:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das geht so Für $\begin{eqnarray} x= \frac \pi 3 \end{eqnarray}$ dachte ich an $\begin{eqnarray} \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)=2\frac{\sqrt{3}}{2}\frac 1 2 =\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} \sin(x) = \cos (x - \frac {\pi}{2}) \end{eqnarray}$ siehst du auch leicht die Symmetrie des Sinus bzgl. $\begin{eqnarray} \frac \pi 2 \end{eqnarray}$ Ersetze $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \frac \pi 2 +x \end{eqnarray}$ . Das liefert $\begin{eqnarray} \sin(\frac \pi 2 +x ) = \cos (\frac \pi 2 +x - \frac {\pi}{2}) = \cos (x) \end{eqnarray}$ Ersetze jetzt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ . Das liefert $\begin{eqnarray} \sin(\frac \pi 2 -x ) = \cos (-x) = \cos (x) \end{eqnarray}$ zusammen also $\begin{eqnarray} \sin(\frac \pi 2 +x ) = \sin(\frac \pi 2 -x ) \end{eqnarray}$
10.01.2015, 13:09	CableGuy86	Auf diesen Beitrag antworten »
Oke hab ich verstanden, aber ich sehe das ich mit den Additionstheoremen mehr Übung brauche...^^ Danke für deine hilfe. @Mathema: thx für die Liste.

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