Verständnisfrage Basis / Rang kanonische Basis / Gram- Schmidt |
| 08.01.2015, 23:24 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Verständnisfrage Basis / Rang kanonische Basis / Gram- Schmidt Ich habe eine mxn Matrix. Bei dieser Matrix errechne ich den Rang durch Gaußumformungen. Als Beispiel erhalte ich den Rang = 3. Da eine Basis ja nie genau definiert ist dürfte ich doch hier die kanonische Basis des R³ nehmen oder? Ode rmuss ich zwingend die Zeilenvektoren nehmen (hier 3 an der Zahl), die die Basis des VR aufspannen? Denn es geht mir um eine Vereinfachung für Gram-Schmidt (ONB/OGB), denn dann könnte ich mir Gram Schmidt ersparen, wenn ich eine ONB für die Basis suche... Gibt es sonst noch irgendwelche Tricks für Gram-Schmidt, dass man durch guter vorheriger Überlegung sich viel Rechenzeit sparen kann? Würde mich über eine Antwort sehr freuen! 
LG |
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| 09.01.2015, 12:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für den mit Standardskalarprodukt eine ONB anzugeben, ist leicht. Gram-Schmidt kann zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt ein Orthogonalsystem bzw. Orthonormalystem berechnen, das denselben Untervektorraum erzeugt. Verwendet man als Eingabe ein System von Basisvektoren eines Untervektorraums, so erhält man eine OGB bzw. eine ONB. Wenn das leicht wäre, bräuchte man Gram-Schmidt nicht. |
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| 09.01.2015, 12:33 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich kann aus dem was du mir geschrieben hast lediglich entnehmen, dass es möglich ist eine ONB durch das Standartskalarprodukt zu erzeugen ist. Doch dr letzte Satz macht mich stutzig. Wenn man doch durch die kanonische Basis genau den gleichen Vektorraum aufspannen kann, wie durch die kleinste Antahl linear unabhängiger Vektoren (Zeilenvektoren), darf man IMMER die kanonische Basis nehmen? Weil es würde Gram-Schmidt in diesem falle ersparen. Oder darf nur die kanonische Basis als Basis genommen werden, wenn die Matrix einen vollen rang besitzt (weil der die Dimension doch nicht gleich der Dimension 3 ist bei einem Rang von 3 bei eienr 4x4 matrix?) |
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| 09.01.2015, 12:49 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es geht nicht um eine ONB des Vektorraums . Das Problem ist, eine ONB eines Untervektorraums zu finden, der in einem beliebig komplizierten Vektorraum mit beliebig kompliziertem Skalarprodukt liegt. Scheußlich komplizierte Hilberträume treten z.B. in der Quantenphysik auf. Und ja, klar, bei einem 4-dimensionalen Raum kannst du nicht die Standardbasis des R³ nehmen. Der Unterraum liegt irgendwie "quer" im Vektorraum, so wie eine beliebige Ebene im R³ nicht die x,y-Ebene ist. |
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