Hauptraum zu viele Hauptvektoren?

09.01.2015, 14:29	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptraum zu viele Hauptvektoren? Ich möchte zu folgender Matrix Eigenvektoren bzw. Hauptvektoren bestimmen: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine bisherigen Rechnungen ergeben: $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{2}=\lambda=1 \end{eqnarray}$ Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} v_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_{2} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \lambda_{2} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} v_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann brauch ich noch einen Hauptvektor, da die geometrische Vielfachheit kleiner der algebraischen Vielfachheit ist. Dazu mache ich den Ansatz: $\begin{eqnarray} (A-\lambda_{2}E_{3})=v_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für dieses Gleichungssystem erhalte ich nun verschiedene Lösungen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie kann es nun sein, dass die beiden letzten Vektoren linear unabhängig sind und beide ein Hauptvektor 2. Stufe sind, wenn es doch theoretisch nur einen solchen Hauptvektor geben sollte ?? Vielen Dank schon im Voraus für eure Hilfe Gruß Biene
09.01.2015, 14:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau am besten nach wie man Hauptvektoren bestimmt.
09.01.2015, 15:00	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist klar, wie man Hauptvektoren bestimmt, deswegen ja mein Ansatz $\begin{eqnarray} (A-\lambda_{2}E_{3})=v_{2} \end{eqnarray}$ Was äquivalent dazu ist, dass $\begin{eqnarray} (A-\lambda_{2}E_{3})^{2}a=0 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein Hauptvektor zweiter Stufe. Dennoch dürfte ich doch nicht zwei voneinander linear unabhängige Hauptvektoren der zweiten Stufe erhalten
09.01.2015, 15:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum soll das denn äquivalent sein? Offensichtlich liefert das erste Lösungssystem einen affinen (!) Unterraum, nämlich $\begin{eqnarray} \{\text{inhomogene Lösung} + \lambda \cdot v_2\} \end{eqnarray}$ . Das zweite liefert einen linearen Unterraum, nämlich den Hauptraum. Edit: Um es klarer zu machen. Sei A die Einheitsmatrix. Das erste System besitzt nicht eine Lösung, während das zweite alles als Lösung zulässt. Extremer wird es nicht mehr.
09.01.2015, 15:42	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine natürlich nicht $\begin{eqnarray} (A-\lambda_{2}E_{3})=v_{2} \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} (A-\lambda_{2}E_{3})a=v_{2} \end{eqnarray}$ Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch Ich verstehe nicht, was $\begin{eqnarray} \{\text{inhomogene Lösung} + \lambda \cdot v_2\} \end{eqnarray}$ . bedeutet? Was ich weiß, ist: Ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein Hauptvektor 2. Stufe zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)a=v \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor, d.h. ein Hauptvektor 1. Stufe. Demnach müsste doch mein Ansatz $\begin{eqnarray} (A-\lambda_{2}E_{3})a=v_{2} \end{eqnarray}$ stimmen???
09.01.2015, 15:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dir doch mal das Beispiel $\begin{eqnarray} A = E_3 \end{eqnarray}$ . Die Matrix besitzt 3 mal den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ mit der Standardbasis des R^3 als Eigenvektoren. Was du dann für die Hauptvektoren rechnen willst ist z.B. $\begin{eqnarray} (A - \lambda E_3)a = e_1 \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} A - \lambda E_3 = 0 \end{eqnarray}$ also suchst du a mit $\begin{eqnarray} 0 \cdot a = e_1 \end{eqnarray}$ . Gibt es natürlich nicht. Mit deinem anderen A bekommst du Lösungen, aber haben in dem Kontext eben keinen Sinn. Du suchst wirklich a mit $\begin{eqnarray} (A- \lambda E_3)^2 a = 0 \end{eqnarray}$ . Die Idee vom quadrieren ist das vergrößern des Kerns, s.d. mehr Vektoren drin landen. Edit: Aus $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)a=v \end{eqnarray}$ folgt natürlich $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)^2 a=0 \end{eqnarray}$ , aber die Rückrichtutng stimmt nicht, da $\begin{eqnarray} A-\lambda E \end{eqnarray}$ nach Konstruktion nicht invertierbar ist. Edit 2: So, habe es nun endlich verstanden: Du bekommst einen affinen Lösungsraum wenn du deine Gleichung löst. Nun ist der Hauptraum 2 Dimensional. D.h. wenn man den Unterraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,v \in V \end{eqnarray}$ bestimmt, hat man den Hauptraum erwischt. Ich bin mir nicht sicher, ob man alle Lösungen trifft, d.h. ob V nicht zu klein ist, aber hier passt es.
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09.01.2015, 16:16	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank IfindU , dennoch bin ich immer noch etwas verwirrt. Ich versuche es mal zusammenzufassen: $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)a=v \end{eqnarray}$ Dieser Ansatz muss nicht immer zum Ziel (Hauptvektoren besimmen) führen, wie man an deinem Beispiel mit $\begin{eqnarray} A=E \end{eqnarray}$ sieht. Es wäre also besser immer den Ansatz $\begin{eqnarray} (A- \lambda E_3)^2 a = 0 \end{eqnarray}$ zu machen Findet man allerdings Vektoren $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)a=v \end{eqnarray}$ lösen, so folgt daraus auch $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)^2 a=0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein Hauptvektor In meinem Beispiel bedeutet das also: Der Hauptraum $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ wird erzeugt von $\begin{eqnarray} a_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eine andere mögiche Basis wäre $\begin{eqnarray} a_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich könnte also sowohl $\begin{eqnarray} a_{1} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} a_{1} \end{eqnarray}$ als Hauptvektor wählen. Stimmt das soweit?
09.01.2015, 16:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Wie dir auffällt ist die Differenz deiner beiden Lösungen ein Vielfaches von v. Allgemeiner löst dein Gleichungssystem alle a der Form $\begin{eqnarray} a = a_1 + \lambda v \end{eqnarray}$ für ein beliebiges lambda. Das meinte ich mit spezifische Lösung (a_1) mit der homogenen Lösung lambda v verschobebn. Und hier ist es klar, dass der Hauptraum nur 2 Dimensional sein kann und deswegen bist du fertig. Mir ist aber noch nicht klar, was passieren würde wenn die algebraische Vielfachheit 3 wäre und du nur einen zweidimensionalen Raum mit der Methode findest. Zumindest mir ist nicht klar, ob das schon impliziert, dass der Hauptraum nur 2 dimensional ist oder man einfach einen dritten Vektor verpasst.

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