Funktion hoch 3x ableiten

09.01.2015, 17:44

Dasselberg

Funktion hoch 3x ableiten

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} (2x+3)^{3x} \end{eqnarray*}$ soll abgeleitet werden.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass man einen Term hoch x mittels des Ln ableitet. In diesem Fall muss man wohl auch die Kettenregeln benutzen, also komme ich zu folgendem:
$\begin{eqnarray*} 3*(2x+3)^{3x}*ln(2x+3) \end{eqnarray*}$
So hätte ich eigentlich die Regeln befolgt und die Ableitung müsste richtig sein, ist sie aber nicht. Wieso?

09.01.2015, 18:50

DeltaX

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Hey

Kettenregel ist richtig, allerdings nicht die einzige Regel, die du Anwenden musst.

Wie hast du denn die Funktion, nennen wir sie f(x) in eine logarithmische Funktion umgeschrieben?

Schreibe mal deine Schritte.
Vielleicht hilft das ja.

MfG

DeltaX

PS: Kleiner Tipp: Wenn du f(x) in eine Form gebracht hast, die ähnlich wie hier ausschaut:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{ \ln ( u(x) ) } \end{eqnarray*}$ , so wird ganz klar, dass du für die e-Funktion die Kettenregel benutzen musst, aber eben auch für $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ eine weitere.

PPS: $\begin{eqnarray*} (e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)} \end{eqnarray*}$ ; Du siehst also, die e-Funktion wird wieder reproduziert. Stünde in u(x) ein Polynom ersten Grades (also sowas wir 4x, oder $\begin{eqnarray*} \pi \cdot x \end{eqnarray*}$ ), so würde das Ableiten ähnlich wie bei Dir aussehen.

09.01.2015, 19:08

Dasselberg

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Vielen Dank vorab für die Mühe und die Hilfe!

"Wie hast du denn die Funktion, nennen wir sie f(x) in eine logarithmische Funktion umgeschrieben?"

Eigentlich habe ich das gar nicht gemacht. Ich habe lediglich in der Formelsammlung gesehen, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ = f'(x)= ln(a)*a^x ist.
Dementsprechend habe ich das mal ganz frei auch für meine Funktion f(x) gemacht.
Wie man diese Funktion allerdings in eine logarithmische Funktion umschreibt kann ich nicht sagen.

09.01.2015, 19:16

DeltaX

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Okay, kurz gesagt, der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Dementsprechend:

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} = x \end{eqnarray*}$

Ich helf dir hier also mal kurz, denn deine Formelsammlung spricht den von mir oben genannten Spezialfall an, bei dem nur Vielfache von x im Exponenten stehen.

Deine Funktion kann man wie folgt umschreiben:

$\begin{eqnarray*} (2x+3)^{3x} = e^{ \ln (2x+3) ^{3x}} \end{eqnarray*}$

Mit den Logarithmusgesetz, dass $\begin{eqnarray*} ln(a^x) = x \cdot ln(a) \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} e^{ \ln (2x+3) ^{3x}} = e^{ \ln (2x+3)\cdot 3x} =: f(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt steht im Exponent von der e-Funktion also genannte Funktion $\begin{eqnarray*} u(x) = \ln (2x+3)\cdot 3x \end{eqnarray*}$

Also ein Produkt aus zwei Funktionen (> Also auch noch Produktregel anwenden).

Schreibe dir am Besten erstmal die Ableitung von u(x) auf und poste sie hier. Wink

09.01.2015, 19:28

Dasselberg

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$\begin{eqnarray*} u(x)=3x*ln(2x+3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)=3*ln(2x+3)+3x*ln(2x+3)*2 \end{eqnarray*}$

Aber jetzt fehlt mir doch noch die Kettenregel? Nur ist mir nicht klar, wie man bei einer Logarithmusfunktion die Kettenregel nutzen muss. Oder stimmt das so?

09.01.2015, 20:58

DeltaX

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Heyho

Also allg. ist die Produktregel ja wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} k(x) = h(x)\cdot v(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow k'(x) = h'(x)\cdot v(x) + h(x)\cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

Bei unserem Beispiel also:

$\begin{eqnarray*} u(x) = \underbrace{3x}_{=:h(x)} \cdot \underbrace{\ln (2x+3)}_{=: v(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt einfach mal von u(x) die Ableitung berechen.

Ein kleiner Tipp, erstmal mathematisch, dann eher anschaulich:

Wenn du als Beispiel mal den Logarithmus hast mit $\begin{eqnarray*} k(x)= \ln (g(x)) \end{eqnarray*}$ , dann ist die Ableitung nach der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} k'(x) = \frac 1 {g(x)} \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Anschaulich, wenn im Argument vom Log./ Ln eine Funktion steht, so leitest du erstmal ganz normal den Logarithmus ab. Die Ableitung vom Ln ist je bekanntlich 1 durch das, was im Argument stand (im Beispiel also g(x)) und anschließend musst du das, was im Argument stand auch nochmal ableiten und damit multiplizieren.

Daher auch $\begin{eqnarray*} (\ln x )' = \frac 1 x \cdot \underbrace{1}_{\text{Ableitung von x}} \end{eqnarray*}$

Probiers mal! Wink

09.01.2015, 21:25

Dasselberg

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okay, also die Ableitung wäre dann:
$\begin{eqnarray*} u'(x)=3*ln(2x+3)+3x*\frac{1}{2x+3}*2 \end{eqnarray*}$
Ich habe beim Ersten die 3x abgeleitet, beim Zweiten dann die Kettenregel benutzt und für Beides noch die Produktregel benutzt. Stimmt es denn wenigstens jetzt?

09.01.2015, 21:30

DeltaX

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Korrekt! Verbinde das jetzt mit der Ableitung der e-Funktion (siehe oben)! Freude

09.01.2015, 21:36

Dasselberg

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$\begin{eqnarray*} u'(x)=(3*ln(2x+3)+3x*\frac{1}{2x+3}*2)*e^{(2x+3)^3x} \end{eqnarray*}$
bzw. anstelle von $\begin{eqnarray*} e^{(2x+3)^3x} \end{eqnarray*}$ kann man natürlich $\begin{eqnarray*} e^{3x*ln(2x+3)} \end{eqnarray*}$ schreiben.
Ist es denn jetzt fertig?

09.01.2015, 21:43

DeltaX

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Bringe alles in der Klammer mal auf den Nenner $\begin{eqnarray*} 2x+3 \end{eqnarray*}$ , dann verändert sich noch was an der e-Funktion im Exponenten smile

Prinzipiell aber fertig

09.01.2015, 21:52

Dasselberg

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$\begin{eqnarray*} u'(x)=(3*ln(2x+3)+\frac{6x}{2x+3})*e^{(2x+3)^3x} \end{eqnarray*}$
Weiter kann ich es nicht, falls man da überhaupt noch was machen kann

09.01.2015, 22:15

DeltaX

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Kurz als Latex-Hilfe für den Formeleditor:

code:
1:	e^{(2x+3)^3x}

Erzeugt: $\begin{eqnarray*} e^{(2x+3)^3x} \end{eqnarray*}$

Deshalb:

code:
1:	e^{(2x+3)^{3x}}

, also den Exponent in Klammern.
Erzeugt: $\begin{eqnarray*} e^{(2x+3)^{3x}} \end{eqnarray*}$

Außerdem ist mir aufgefallen, leider erst jetzt, dass du im Exponenten den Logarithmus vergessen hast, also muss bei dir statt deiner e-Funktion immer
$\begin{eqnarray*} e^{\ln (2x+3)^{3x}}= (2x+3)^{3x} \end{eqnarray*}$ stehen. Das war ja anfängliche Umformung.

Ich werde ab jetzt mit $\begin{eqnarray*} (2x+3)^{3x} \end{eqnarray*}$ weiterrechnen. Und außerdem meinen wir nicht mehr nur $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ , das war ja nur der Exponent. Wir behandeln schon die richtige vollständige Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bzw. eben ihre Ableitung.

Also, wenn du den Klammerausdruck auf einen Nenner bringen willst, gehst du so vor:

Du sucht gewünschten Nenner, hier also 2x+3. Im linken Summanden möchtest Du natürlich nichts am Ergebnis verfälschen, also musst du Zähler und Nenner mit dem "Wunschnenner" 2x+3 erweitern (Das darfst du, weil du effektiv mit $\begin{eqnarray*} \frac {2x+3}{2x+3} = 1 \end{eqnarray*}$ erweitert hast und $\begin{eqnarray*} 1 \cdot a = a \end{eqnarray*}$ wobei a zunächst mal jegliche Terme beinhaltet.

Also geb ich dir das mal vor, da das Ergebnis ja eigtl schon von dir kam Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (3 \cdot \ln ( 2x+3 ) + \frac {6x}{2x+3} ) \cdot (2x+3)^{3x} \end{eqnarray*}$
Mit Erweitern:

$\begin{eqnarray*} =(\frac { 3 \cdot \ln ( 2x+3 ) \cdot (2x+3)}{2x+3} + \frac {6x}{2x+3} ) \cdot (2x+3)^{3x} \end{eqnarray*}$

Da der Nenner gleich ist, kann man das nun zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} =( \frac {3 \cdot \ln ( 2x+3 ) \cdot (2x+3) +6x}{2x+3} ) \cdot (2x+3)^{3x} \end{eqnarray*}$

Nach den Umformungsgesetzen darf man jetzt natürlich den Nenner aus der Klammer herausziehen:

$\begin{eqnarray*} =( 3 \cdot \ln ( 2x+3 ) \cdot (2x+3) +6x ) \cdot \frac{(2x+3)^{3x}}{2x+3} \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich noch die Potenzgesetze an, ich hoffe, dass sie dir was sagen:

$\begin{eqnarray*} a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5 \end{eqnarray*}$ und der Kehrwert, der definiert ist als:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 a = a^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun ist also der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac 1 {2x+3} = (2x+3)^{-1} \end{eqnarray*}$ Sodass wir zunächst erhalten:

$\begin{eqnarray*} =( 3 \cdot \ln ( 2x+3 ) \cdot (2x+3) +6x ) \cdot (2x+3)^{3x} \cdot (2x+3)^{-1} \end{eqnarray*}$

und wenden nun noch das erstgenannte Potenzgesetz an:

$\begin{eqnarray*} =( 3 \cdot \ln ( 2x+3 ) \cdot (2x+3) +6x ) \cdot (2x+3)^{3x-1} \cdot = u'(x) \end{eqnarray*}$

Weil wir grad dabei sind, man kann natürlich noch etwas ausmultiplizieren und erhält dann:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (6x+ \ln ( 2x+3)\cdot (6x+9))\cdot (2x+3)^{3x-1} \end{eqnarray*}$

Und ja, "endlich" fertig. Wink

09.01.2015, 22:30

Dasselberg

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Vielen, vielen Dank für die Hilfe und Mühe! Ich habe es endlich verstanden!
Grüße smile

09.01.2015, 22:39

DeltaX

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