Stokes'scher Integralsatz

09.01.2015, 17:53

ThreeJay

Stokes'scher Integralsatz

Hallo zusammen,

ich bin gerade mit dem Lösen folgender Aufgabe beschäfftigt:

Gegeben sei ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{V}(\vec{r})=\vec{\omega}\times\vec{r} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec{\omega} \end{eqnarray*}$ ein konstanter Vektor ist.
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \oint_C \! d\vec{r}\cdot \vec{V}(\vec{r}) \, \end{eqnarray*}$ für den Weg eines Halbkreises mit dem Radius R in der x-y-Ebene.

a) durch die Berechnung des Linienintegrals.

b) mit Hilfe des Stokes'schen Satzes.

Hinweis: Für Vektorfelder $\begin{eqnarray*} \vec{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{B} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\times(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{A}(\vec{\nabla}\cdot\vec{B})-(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}-\vec{B}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})+(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} \end{eqnarray*}$

Aus meiner Sicht setzt sich der gesamte Weg C aus dem Weg $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ des Kreisbogens und dem Weg $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ der Geraden zusammen.
Für den Weg $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r\cos(t) \\ r\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir gedacht, dass man $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ folgendermaßen berechnen kann:

Der Weg $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ besteht meiner Meinung nach aus den beiden Punkten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} R \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -R \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Demnach ergibt sich für den Gesamtweg $\begin{eqnarray*} C=C_{1}+C_{2}=\begin{pmatrix} r\cos(t) \\ r\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2R \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(t)+2R \\ r\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Berechnungen so richtig sind.

Vielen Dank bereits im Voraus.

LG ThreeJay

10.01.2015, 11:02

Rmn

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RE: Stokes'scher Integralsatz

Zitat:

Für den Weg $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r\cos(t) \\ r\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja, wobei du noch sagen muss welche Werte t annehmen kann.

Zitat:

I
Der Weg $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ besteht meiner Meinung nach aus den beiden Punkten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} R \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -R \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ein Weg besteht nicht aus zwei diskreten Punkten, sondern aus alles Punkten dazwischen. Du muss also eine parametrisierte Geradengleichung angeben, die alle Punkt zwischen den zwei von dir angegebenen Punkten erfasst.

Zitat:

Demnach ergibt sich für den Gesamtweg $\begin{eqnarray*} C=C_{1}+C_{2}=\begin{pmatrix} r\cos(t) \\ r\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2R \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(t)+2R \\ r\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nein das ist komplett falsch, du sollst nicht die Wege sondern die Integrale addieren.
$\begin{eqnarray*} \oint_C = \int_{C_1} + \int_{C_2} \end{eqnarray*}$

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