f(x)) = 1 ???

09.01.2015, 18:19

bingobango

lim (f(2x)/f(x)) = 1 -> lim (f(ax)/f(x)) = 1 ???

Meine Frage:
Hallo!

Ich stehe vor folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine positive und monotone Funktion, und es gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f(2x)}{f(x)} = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich zeigen, dass allgemein
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f(ax)}{f(x)} = 1 \end{eqnarray*}$
für beliebige a > 0 gilt. Leider steh ich ein bisschen auf dem Schlauch.

Meine Ideen:
Ich hab versucht das ganze für Potenzen von 2 zu zeigen, also für a = 2^n wobei n ganze Zahlen sind.
Dazu habe ich zunächst x' = 1/2x definiert und eingesetzt, womit sich ja:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f(4x')}{f(2x')} = 1 \end{eqnarray*}$
ergeben sollte, und da nach Vorraussetzung

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(2x') = \lim_{x \to \infty } f(x') \end{eqnarray*}$

gilt, kann ich das zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f(4x')}{f(x')} = 1 \end{eqnarray*}$

umschreiben. Wenn ich das beliebig oft wiederhole kann ich das also für alle Zweierpotenzen, auch mit negativem Exponenten (also 1/2, 1/4 etc.)
zeigen.

Stimmt das denn bisher überhaupt?
Und wie verallgemeinere ich das jetzt auf beliebige reelle Zahlen a > 0?

Ich bedanke mich schonmal für jegliche Hilfe.

09.01.2015, 20:47

bingobango

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Nach einigem weiteren selber nachdenken bin ich auf folgende, eigentlich total einfache Idee gestoßen:

Da die Funktion ja monoton ist (sagen wir oBdA mal sie wäre monoton steigend), gilt ja:
f(2x) <= f(4x).

Kann ich dann daraus folgern:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f(2x)}{f(x)} \leq \lim_{x \to \infty } \frac{f(4x)}{f(x)} \end{eqnarray*}$
?

Falls ja, müsste $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f(ax)}{f(x)} \end{eqnarray*}$ für alle a zwischen 2 und 4 ja zwischen den beiden oben genannten Grenzwerten liegen, und da beide 1 sein (falls mein Beweis von oben stimmen sollte) wäre der Grenzwert dann auch 1. Und da 2^n beliebig groß bzw beliebig nah an 0 ran kommt, könnte ich das dann für alle reellen Zahlen a zeigen, indem ich sie eben zwischen zwei Potenzen von 2 eingrenze. (Ich hoffe man versteht was ich meine)
Für monoton fallend wäre nur das $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ zu ersetzen.

Ist das so korrekt? Falls ja wäre das ja ziemlich einfach gewesen und ich hab wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen LOL Hammer

09.01.2015, 20:54

IfindU

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Die Idee stimmt. Leider stimmt dein Beweis für die 2^n nicht. Du kannst nicht annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert. Es ist sehr leicht zu sehen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \log(x) \end{eqnarray*}$ ein Beispiel für so eine Funktion ist, die unbeschränkt ist. Stattdessen argumentiere, dass Quotienten konvergenter Folgen gut konvergieren.

09.01.2015, 20:54

HAL 9000

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Im Prinzip die richtige Idee:

1) Erst $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \frac{f(ax)}{f(x)} = 1 \end{align*}$ für alle Zweierpotenzen $\begin{align*} a=2^n \end{align*}$ mit $\begin{align*} n\in\mathbb{Z} \end{align*}$ (d.h. auch negative) zeigen.

2) Und für beliebige $\begin{align*} 2^n\leq a < 2^{n+1} \end{align*}$ dann per Sandwichkriterium folgern, unter Nutzung von 1) sowie der gegebenen Monotonie von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

09.01.2015, 21:48

bingobango

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Erstmal vielen Dank für eure Rückmeldung Freude

Leider verstehe ich nicht wirklich worauf du mit

Zitat:

Original von IfindUStattdessen argumentiere, dass Quotienten konvergenter Folgen gut konvergieren.

hinaus willst.
Ich weiß, dass für zwei konvergente Folgen $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) auch deren Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und zwar gegen den Quotient ihrer beiden Grenzwerte. Allerdings weiß ich nicht wie mir das hier weiter helfen soll, weil ichs hier ja nicht mit konvergenten Folgen zu tun habe und mir auch nichts dazu einfällt, wie man solche hier sinnvoll einführen könnte. Über einen kleinen Tipp wie ich weiter verfahren sollte würde ich mich sehr freuen.

09.01.2015, 23:00

IfindU

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Schwer einen weiteren Tipp zu geben ohne alles zu verraten.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac {f(4x)}{f(x)} = \lim_{x\to\infty} \frac {f(4x)} a\cdot \frac a {f(x)} \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte wohl deinen Dreher drin. Produkte konvergenter Folgen konvergieren gut. Für eine geschickte Wahl von a steht es da.

09.01.2015, 23:10

bingobango

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Sehr gut, genau diese Richtung habe ich auch vorhin selber verfolgt, gut zu wissen, dass es dann wohl damit passt. Augenzwinkern

Vielen Dank!

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lim (f(2x)/f(x)) = 1 -> lim (f(ax)/f(x)) = 1 ???

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