Polynome berechnen

10.01.2015, 05:39

th30r3tisch

Polynome berechnen

Meine Frage:
Hallöchen und gute Nacht,
ich sitze gerade an ein paar Hausaufgaben und komme bei dieser Aufgabe absolut nicht weiter.

Es werden Polynome über den Körper Z betrachtet. Bestimmen Sie für
p(z)= z^4 + z^3 + z und q(z)= z^2 + 1
die Polynome f(z)= p(z) + q(z), g(z)= p(z) * q(z)
sowie h ? p mod q mit minimalem Grad(h).
Berechnen Sie für alle Polynome die Werte für z=0 und z=1.
Faktorisieren Sie Die Polynome, für die dies möglich ist.

Meine Ideen:
Ich habe leider absolut keine Ahnung was man da von mir möchte...
Könnt ihr mir vielleicht ein paar Ansätze geben?

1.
Ich würde p(z) und q(z) erst mal einsetzen.
f(z)= z^4 + z^3 + z^2 + z + 1
g(z)= z^6 + z^5 + z^4 + 2z^3 + z
h ? p mod q ( damit kann ich nicht wirklich was anfangen.. also weiß schon was modulo heißt und das ? --> identisch ist aber wie ich das mit den Polynomen machen soll weiß ich nicht )

2.
aus "mit minimalem Grad" würde ich schließen das ich die drei Funktionen oben dann mittels Polynomdivision auf den kleinst möglichen Grad bringen soll.
Wie soll ich aber 6 Nullstellen finden wenn die ganze Gleichung nur (fast nur) aus Variablen besteht ?

3.Berechnen Sie für alle Polynome die Werte für z=0 und z=1.
Hier würde ich einfach in die obigen Gleichungen z=0 und z=1 einsetzen... glaube aber nicht das das von mir verlangt wird... wäre ein bisschen zu simpel.
Also was wollen die da von mir genau?

4.Faktorisieren Sie Die Polynome, für die dies möglich ist.
Wenn ich Nullstellen hätte denke ich mal wüsste ich ja was ich machen sollte... aber ohne die kann ich auch nicht Faktorisieren oder?

hoffe ihr könnt mir bei ein paar Ansätzen helfen...
vielen Dank schon mal.

10.01.2015, 11:46

Elvis

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hast du berechnet.
$\begin{eqnarray*} h \equiv p (q)\Leftrightarrow q|(p-h)\Leftrightarrow p=qk+h \end{eqnarray*}$ bekommst du durch Polynomdivision (Euklidischer Algorithmus).

Wo steht, dass du Nullstellen berechnen sollst ?

z=0 und z=1 einsetzen in p,q,f,g,h ist so einfach wie es aussieht, mach doch.
Faktorisieren geht nicht über Nullstellen, z.B. ist $\begin{eqnarray*} q(z)=z^2+1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und sogar $\begin{eqnarray*} \mathbb Q, \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht zerlegbar.

10.01.2015, 11:52

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Zitat:

Polynome über den Körper Z

lässt mich gerade ein wenig an der Aufgabenstellung zweifeln

10.01.2015, 11:57

Elvis

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Aua, das tut weh. Hammer

Da z=0 und z=1 eingesetzt werden soll, ist vielleicht $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ gemeint.

10.01.2015, 12:02

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Und weil 0 und 1 eingesetzt werden soll, kann man vermuten, dass es eigentlich um den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gehen soll.
@Elvis: Hatte dein Edit nicht gesehen. Stelle Konsens fest Big Laugh

10.01.2015, 12:58

Elvis

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Dafür spricht auch, dass als Koeffizienten der Polynome nur 0 und 1 auftreten. So macht die Aufgabe auch viel mehr Spaß als über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

10.01.2015, 15:05

th30r3tisch

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vielen Dank für die schnellen Antworten!
Jaa es ist Z2 gemeint. Wollte die 2 noch nachbessern weil ich nicht wusste wie ich sie tief setze habe es dann aber vergessen.

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hast du berechnet.
$\begin{eqnarray*} h \equiv p (q)\Leftrightarrow q|(p-h)\Leftrightarrow p=qk+h \end{eqnarray*}$ bekommst du durch Polynomdivision (Euklidischer Algorithmus).

Wo steht, dass du Nullstellen berechnen sollst ?

z=0 und z=1 einsetzen in p,q,f,g,h ist so einfach wie es aussieht, mach doch.
Faktorisieren geht nicht über Nullstellen, z.B. ist $\begin{eqnarray*} q(z)=z^2+1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und sogar $\begin{eqnarray*} \mathbb Q, \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht zerlegbar.

1. Na mittels Polynomdivision berechne ich ja die Nullstellen der Gleichung oder?

2. Und wenn ich die auf die beiden Funktionen die Polynomdivision anwende kriege ich diese Funktion? ( $\begin{eqnarray*} h \equiv p (q)\Leftrightarrow q|(p-h)\Leftrightarrow p=qk+h \end{eqnarray*}$ )
Kein wunder das ich das nicht hinbekomme... ich muss ehrlich gesagt sagen das ich nicht wirklich den Zusammenhang zwischen deiner h und p,q sehen kann... wie komme ich auf diese Gleichung?

3. Ok dann scheint das mit z=0 und z=1 ja wirklich einfach zu sein

4. Ich habe bis jetzt immer mit den Nullstellen faktorisiert ( also den "Ergebnissen" aus z.b. der Polynomdivision) oder verstehe ich da gerade etwas falsch?

10.01.2015, 17:49

Elvis

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1. Polynomdivision berechnet keine Nullstellen. Wenn es eine Nullstelle gibt, kann man einen linearen Faktor abspalten. Die Umkehrung ist falsch. (z.B. reell : (x²+1)² hat 2 quadratische Faktoren.)

2. Das ist der euklidische Algorithmus, also Division mit Rest. Auf den kommen wir nicht, auf den ist Euklid vor Jahrtausenden gekommen.

3. Ja, ist einfach, immer daran denken, wie man im Körper {0,1} rechnet !

4. Polynomdivision mit Rest 0 geht dann, wenn man faktorisiert hat. Die Faktoren kann man nicht durch Division berechnen. Die Faktoren müssen nicht linear sein, d.h. man muss nicht notwendig Nullstellen haben. (Beispiel x²+1 als reelles Polynom hat keine Nullstelle, ist also ein unzerlegbarer Faktor.)

Nachtrag 1: Vergiß Nullstellen, das hat etwas mit Polynomfunktionen zu tun. Alles andere ist bei Polynomen wichtiger.

Nachtrag 2: Über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ ist dein Polynom g=pq falsch. Bedenke 2=0 !

10.01.2015, 18:27

th30r3tisch

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1. ok

2. d.h. ich muss einfach p(z)= z^4 + z^3 + z und q(z)= z^2 + 1 in den euklidischen Algorithmus einsetzen ( k und h sind zusätzliche Variabeln ) und dann irgendwie dividieren?

3. ich hätte da einfach 0 und 1 für z eingesetzt und dann ausgerechnet was f(z) und g(z) ist

4. Also muss ich
f(z)= z^4 + z^3 + z^2 + z + 1
g(z)= z^6 + z^5 + z^4 + 2z^3 + z
faktorisieren... ausklammern (f(z) wüsste ich nicht was ich ausklammern sollte ohne es nicht noch komplizierter zu machen als es eh schon ist und bei g(z) könnte ich einmal z ausklammern)
und dann? nur ausklammern kann ja nicht das Ziel sein oder?

5. mit g=pq habe ich noch garnichts gemacht... ist die Aufgabe dann auf dem Blatt schon falsch?

sorry irgendwie steige ich da überhaupt nicht durch -.-

11.01.2015, 11:43

Elvis

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$\begin{eqnarray*} p(z)=z^4+z^3+z, q(z)=z^2+1 \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} f(z)=p(z)+q(z)=z^4+z^3+z^2+z+1, g(z)=p(z)\cdot q(z)=z^6+z^5+z^4+z \end{eqnarray*}$

2. Division mit Rest ist die Grundlage des euklidischen algorithmus, mit dem unter anderem der ggT von ganzen Zahlen oder Polynomen oder allgemein Elementen euklidischer Ringe berechnet werden. Polynomdivision ist die Division von Polynomen, und genau das wird hier gewünscht.
Rechne nach : $\begin{eqnarray*} p(z)/q(z)=z^2+z+1 \end{eqnarray*}$ Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} p(z)=q(z)\cdot(z^2+z+1)+1 \end{eqnarray*}$ .
Was nun in dieser Polynomdivision $\begin{eqnarray*} p,q,k,h \end{eqnarray*}$ sind, und was das mit $\begin{eqnarray*} h\equiv p \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ zu tun hat, findest du in meinem ersten Beitrag.

3. musst du nun mal praktisch tun, nicht nur immer wieder sagen du würdest es tun. ("Es gibt nichts Gutes, außer man tut es." ( Erich Kästner))

4. Ja, faktorisieren heißt ausklammern. Aber bitte nicht nur lineare Faktoren, die mit Nullstellen der Polynomfunktionen zusammenhängen, sondern alle Polynomfaktoren. Und auch hier gilt wieder, was der Erich gesagt hat. Lehrer

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