Abbildungsmatrix und Transformationsmatrix bilden

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Frosi Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix und Transformationsmatrix bilden
Meine Frage:
Hallo liebe Lineare Algebra Genies smile
Ich komme bei einer Aufgabe nicht so richtig weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt!!
Einen Teil habe ich schon selbst geschafft und ich bin mir ziemlich sicher, dass mir nur ein Ansatz fehlt.

Die Aufgabe :

Sei der Vektorraum der reellen Polynome p(x) vom Grad 3 und f: die lineare Abbildung

f(p(x)) = p(x-1)

1) Bestimmen Sie: und mit der geordneten Basis A=()

2) Bestimmen Sie: und mit der geordneten Basis B=(

Meine Ideen:
Den ersten Teil von 1) habe ich schon, ich komme da auf die Matrix (mit f(1)=1; f(x)=x-1; f(x^2)=x^2-2x+1; f(x^3)=x^3-3x^2+3x-1)



Ich weiß nur nicht, wie ich dass mit der anderen Abbildungsmatrix von 1) verknüpfen soll - ist f verkettet mit f nicht wieder f selbst?

zu 2) Meine Idee wäre nun, dass ich mit meiner neuen Basis B auch f(1+x); f(x+x^2)... usw ausrechne, ich frage mich dann nur, ob es mir etwas bringt?
Könnt ihr mir helfen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. , also ist eine ganz andere (lineare ?) Abbildung als f.
2. Rechnen hilft, denn wie immer stehen in den Spalten der Matrizen die Bilder der Basisvektoren.
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Antwort smile

zu 1. Also ich glaube, dass eine lineare Abbildung wäre, aber wenn ich dann wieder ein f dazu addiere, ist sie vielleicht nicht mehr linear?

Ich fasse dann schon einmal die Werte hierfür zusammen:




- Passt das? Habe ich irgendeinen Fehler gemacht? Ich glaube leider ja! Gott

zu 2. Ich komme beim Rechnen leider irgendwie nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie meine Funktion aussieht, in die ich mein x aus der Basis B einsetzen muss unglücklich Vorher habe ich mir das irgendwie logisch erschlossen, aber jetzt stehe ich komplett auf dem Schlauch - kannst du mir nur ein Beispiel/ allgemein sagen? Natürlich versuche ich es nebenbei noch selbst rauszufinden!!!

Danke für die Hilfe!!
Liebe Grüße
Frosi
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Glauben ist ein Begriff, der zu einer anderen Kategorie des Lebens gehört, in der Mathematik gibt es Wissen, das durch Beweise erlangt wird. Eine Abbildung heißt linear, wenn für alle und für alle für einen Vektorraum über dem Körper gilt. Tipp: Bezüglich einer Basis ist jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet und umgekehrt ist einer Matrix eine lineare Abbildung zugeordnet. Der Hintereinanderausführung linearer Abbildungen ist die Produktmatrix, der Summe linearer Abbildungen ist die Summe der Matrizen zugeordnet.

Bei 1. suchst du die Matrix zur linearen Abbildung , das ist z.B. . Tipp: Nach den obigen Bemerkungen kannst du auch mit der Matrix arbeiten, die du schon berechnet hast.

Zu 2. Es ist z.B. , also . Ich gehe davon aus, dass die Darstellungsmatrix so definiert ist, dass die primäre Basis A oben und die sekundäre Basis B unten an der Darstellungsmatrix M steht (manchmal ist das in der Literatur auch umgekehrt, siehe Skript). Ist mit der Matrix T die Basiswechselmatrix gemeint, dann musst du im Skript nachlesen, wie diese definiert ist und wie sie mit der Darstellungsmatrix M zusammenhängt. Die Berechnung der Darstellungsmatrix kann dann auch wieder zurückgeführt werden auf Matrixmultiplikationen.
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh okay!
Ich habe jetzt bei der 1 dann folgende Matrix raus:



- Wenn sie stimmen sollte: Hat es einen Grund, warum auf der Hauptdiagonalen nur 2-en stehen? Oder ist das hier viel mehr Zufall?

zu 2.

Ich habe es mir jetzt so erschlossen, dass man quasi die Vorzeichen von " " so wählen muss, dass der jeweilige Funktionswert von f(..) rauskommt. Stimmt das?

So käme ich auf folgende Matrix:



Sieht es gut aus?
Wenn die nämlich stimmt, dann weiß ich auch wie es mit der Basiswechselmatrix weitergeht smile (Also dann würde ich nicht mehr deine tolle Hilfe in Anspruch nehmen müssen!!!)

LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste in der letzten Spalte von f²+f nicht -11, 13, -9, 2 stehen ? Habe ich mich verrechnet oder hast du dich verrechnet ? Die 2, 2, 2, 2 in der Hauptdiagonale ist Zufall (bis jemand einen guten Grund findet).

Die Darstellungsmatrix ist komplett richtig. Das kann man nicht besser machen.
 
 
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

in der Datei die im Anhang ist gibt es einen Satz 18.7 da ist die Verkettung erklärt als Produkt der beiden Abbildungsmatrizen. Wenn man das ganze so betrachtet und noch Lemma 18.3 dazu nimmt erhalte ich folgende Matrix

Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich auch die Basiswechselmatrix bekommen ! Freude
Jetzt bleibt nur noch einmal die dritte Spalte vom zweiten Teil von der 1:

Also ich habe noch einmal nachgerechnet und komme wieder auf mein vorheriges Ergebnis, natürlich unter der Voraussetzung, dass ich folgendes berechne:



Hast du das gleiche gerechnet, oder hab ich eventuell dass falsch?

LG und es ist fast geschafft!!! smile
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich habe folgendes gemacht:



Vg
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu Kelvin! smile

Ich probiere das gleich auch mal aus!
Mal schauen, ob ich aufs selbe komme wie du! Dieser zweite Teil von der 1 ist echt verflixt!!

Liebe Grüße!
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt mal die Transformationsmatrix berechnet und kam auf:



Ich habe hierbei folgende Gleichungssysteme gelöst:



Die anderen Spaltenvektoren sind die übrigen Gleichungssysteme, aber ich denke du weißt wie die weitere Rechnung geht.

Wie hast du den die Transformationsmatrix berechnet?
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Oh die hab ich ganz anders berechnet!! geschockt

Ich hab gesagt : und kam da auf eine ganz andere als du! unglücklich

Auf folgende:


So haben wir das auch in der Vorlesung behandelt, ist es etwa falsch so?

LG
Frosi
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir nicht sagen, ob das richtig oder falsch ist. Ich habe meine Lösung hieran orientiert:
Online-Tutorium
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Kelvin,
ich hab die 1) Teil 2 so gerechnet wie du es gesagt hast und komme genau auf dasselbe Ergebnis wie vorher - hier auch an @Elvis, es ist -9 und 15 smile
(Hab deinen Vorschlag Kelvin auch mit einem Rechner überprüft, es kommt wirklich genau dasselbe raus wie ich es oben mal geschrieben hab Augenzwinkern )

Ich schaue mir jetzt nochmal meine Basiswechselmatrix an!
Liebe Grüße!!
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix und Transformationsmatrix bilden
Frosi,

du kannst aber nicht folgendes gerechnet haben:


Weil da kommt genau das raus, was ich oben gesagt habe. Also was hast du berechnet?
Vg LordK
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich andere Abbildungen hab als du! Augenzwinkern



Die hab ich bei meinem ersten Beitrag gaaaaanz oben geschrieben - findest du sie?

Liebe Grüße
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Ich dachte die erste Spalte muss -1 ergeben, die zweite S. x-1, die dritte S. (x-1)^2 und die vierte S. (x-1)^3 ?

Oder muss die erste Spalte 1 ergeben ? Wegen x^0=1?

Dann wirst du recht haben, wenn das so ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

f(1)=1, weil f nur x verändert, sonst nichts.
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben es heute korrigiert und es war alles richtig!!
Super besten Dank Elvis!!! Freude Respekt
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