Gram-Schmidt-Verfahren im Vektorraum der Polynome

10.01.2015, 14:22	MatheAss666	Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt-Verfahren im Vektorraum der Polynome Meine Frage: Liebe Community, ich habe eine Frage zu meinen Ergebnissen bzgl. einer Aufgabe zum oben genannten Thema! Aufgabe: Berechnen Sie eine Orthonormalbasis { $\begin{eqnarray} q_{1}, q_{2}, q_{3} \end{eqnarray}$ } mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens! Hierbei betrachten wir den euklidischen Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R_{\leq 2}[x] \end{eqnarray}$ mit dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <r,s>=2\cdot r_{2}\cdot s_{2}+r_{1}\cdot s_{1}+2\cdot r_{0}\cdot s_{0} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} r:=r_{2}\cdot x^{2}+r_{1}\cdot x +r_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s:=s_{2}\cdot x^{2}+s_{1}\cdot x +s_{0} \end{eqnarray}$ gilt und eine Basis $\begin{eqnarray} B={ p_{1}, p_{2}, p_{3} } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p_{1}:=5\cdot x^{2}+5, p_{2}:=-7\cdot x, p_{3}:=-3\cdot x^{2}-2\cdot x+3 \end{eqnarray}$ ! Meine Ideen: $\begin{eqnarray} q_{1}=\frac{p_{1}}{\|\|p_{1}\|\|}; \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|p_{1}\|\|=\sqrt{<p_{1}, p_{1}>}; \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <p_{1}, p_{1}>=<5\cdot x^{2} +5, 5\cdot x^{2}+5>= 2\cdot 5\cdot 5 +0\cdot 0+2\cdot 5 \cdot 5=100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \|\|p_{1}\|\|=\sqrt{100}=10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow q_{1}=\frac{5\cdot x^{2} +5}{10}=\frac{1}{10}\cdot (5\cdot x^{2} +5)=\frac{1}{2}\cdot x^{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?
10.01.2015, 14:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht soweit ganz gut aus
10.01.2015, 15:35	MatheAss666	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, das ist nämlich die Grundlage! Nun geht es weiter: $\begin{eqnarray} l_{2}= p_{2}-<p_{2},q_{1}>\cdot q_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <p_{2}, q_{1}>=<-7\cdot x, \frac{1}{2}\cdot x^{2}+\frac{1}{2}>=2\cdot 0\cdot \frac{1}{2}+(-7)\cdot 0+2\cdot 0\cdot \frac{1}{2}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow l_{2}=-7 \cdot x -0\cdot (\frac{1}{2}\cdot x^{2}+\frac{1}{2})=-7\cdot x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{2}=\frac{l_{2}}{\|\|l_{2}\|\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|l_{2}\|\|=\sqrt{<l_{2}, l_{2}>} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <l_{2}, l_{2}>=<-7\cdot x, -7\cdot x>=2\cdot 0\cdot 0+(-7)\cdot (-7)+0\cdot 0=49 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \|\|l_{2}\|\|=\sqrt{49}=7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow q_{2}=\frac{-7\cdot x}{7}=-x \end{eqnarray}$ Oder etwa nicht?
10.01.2015, 15:57	MatheAss666	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dann geht es weiter: $\begin{eqnarray} l_{3}=p_{3}-<p_{3}, q_{1}>\cdot q_{1}-<p_{3}, q_{2}>\cdot q_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <p_{3}, q_{1}>=<-3\cdot x^{2}-2\cdot x + 3, \frac{1}{2}\cdot x^{2}+\frac{1}{2}>=2\cdot (-3)\cdot \frac{1}{2}+(-2)\cdot 0+2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <p_{3}, q_{2}>=<-3\cdot x^{2}-2\cdot x +3, -x>=2\cdot (-3)\cdot 0 + (-2)\cdot (-1)+2\cdot 3\cdot 0=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow l_{3}=(-3\cdot x^{2}-2\cdot x +3)-2\cdot (-x)=-3\cdot x^{2} +3 \end{eqnarray}$ Richtig?
10.01.2015, 16:10	MatheAss666	Auf diesen Beitrag antworten »
Und zum Schluss: $\begin{eqnarray} q_{3}=\frac{l_{3}}{\|\|l_{3}\|\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|l_{3}\|\|=\sqrt{<l_{3}, l_{3}>} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <l_{3}, l_{3}>=<-3\cdot x^{2} +3, -3\cdot x^2 +3>=2\cdot (-3)\cdot (-3)+2\cdot 3\cdot 3=18+18=36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \|\|l_{3}\|\|=\sqrt{36}=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow q_{3}=\frac{1}{6}\cdot (-3\cdot x^{2}+3)=-\frac{1}{2}\cdot x^{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} (q_{1}, q_{2}, q_{3})=(\frac{1}{2}\cdot x^{2} +\frac{1}{2}, -x, -\frac{1}{2}\cdot x^2 +\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ Ist mein Endergebnis richtig bzw. wie kann ich es überprüfen?
10.01.2015, 17:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Test: 1. Skalarprodukte berechnen. $\begin{eqnarray} <q_i,q_j>=\delta_{ij}\Leftrightarrow \{q_i\} \end{eqnarray}$ Orthonormalbasis. 2. $\begin{eqnarray} span(p_i)=span(q_i)\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ alles in Ordnung.
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16.01.2015, 09:30	MatheAss666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist alles ok, wir haben es überprüft und alles ist richtig!

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