Abbildungsmatrix bestimmen

10.01.2015, 17:31

python_15

Abbildungsmatrix bestimmen

Meine Frage:
Hallo! Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} T(x,y)=(y,-5x+13y,-7x+16y) \end{eqnarray*}$ . Man bestimme die Matrixdarstellung von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basen $\begin{eqnarray*} B = \left\{ \left(3,1\right),\left(5,2\right) \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C=\left\{ \left(1,0,-1\right),\left(-1,2,2\right),\left(0,1,2\right)\right\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zuerst habe ich die Bilder der Vektoren aus der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bestimmt:
$\begin{eqnarray*} T\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} \text{und } T\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Die Koordienaten dieser Bilder habe ich mit der Gleichung
$\begin{eqnarray*} a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} -1\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = T(v) \end{eqnarray*}$
bestimmt, wobei $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ die Koordinaten darstellen.
Damit ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \left[\begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} \right]_{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \text{und} \left[\begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \right]_{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und somit die Abbildungsmatrix
$\begin{eqnarray*} \left[T\right]_{B}^{C} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das soweit?
Mein Problem nun:
Muss nicht Abbildungsmatrix mal beliebigen Vektor aus Urbildmenge den Bildvektor (bzw. die Koordinaten davon) ergeben? Das klappt nämlich nicht.
Habe ich also oben einen Fehler oder ist diese Annahme falsch?

12.01.2015, 10:42

klarsoweit

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RE: Abbildungsmatrix bestimmen

Zitat:

Original von python_15
und somit die Abbildungsmatrix
$\begin{eqnarray*} \left[T\right]_{B}^{C} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das soweit?

Im Prinzip ja, nur scheint es unterschiedliche Nomenklaturen zu geben. Laut der, die ich kenne, müßte es $\begin{eqnarray*} \left[T\right]_C^B = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen.

Zitat:

Original von python_15
Muss nicht Abbildungsmatrix mal beliebigen Vektor aus Urbildmenge den Bildvektor (bzw. die Koordinaten davon) ergeben? Das klappt nämlich nicht.

Du mußt zu deinem "beliebigen Vektor" erstmal die Koordinaten bezüglich der Basis B bestimmen. Dann kannst du die Abbildungsmatrix mit dem Koordinatenvektor multiplizieren. Augenzwinkern

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