Integration über Normalbereiche

10.01.2015, 21:29

igoo

Integration über Normalbereiche

Meine Frage:
Siehe Bild...
Könnte mir jemand einen Tipp geben wie ich solche Aufgaben angehen kann?
Die Berechnung solcher Integrale bereitet mir keine Schwierigkeiten (Aufgabenteilc). Aaaber wie ich auf die geforderten Mengen kommen soll und die Bereiche zeichnen soll, weiß ich absolut nicht.
Würde mich über jeglichen Tipp sehr freuen, danke!

Meine Ideen:
Wie gesagt Aufgabenteil c habe ich berechnet, da sollte 67/120 rauskommen.

11.01.2015, 19:37

Bananenbruno

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zu b)
Hallo,

ich versuche einfach mal, aufzuschreiben, in welche Richtung es nach meiner Auffassung bei b) gehen soll, ohne a) richtig zu wissen:

Beim Ablesen der Integrationsgrenzen fällt ja auf, dass x in Abhängigkeit von y gegeben ist, also bietet sich für alle später betrachteten Punkte oder auch Punktmengen die Koordinatenschreibweise ( x(y) |y ) an.
(Tipp: Hilfreich ist ein leeres Koordinatensystem in x-Ausdehnung von 0 bis 2, in y-Ausdehnung von 0 bis 1).

Das Grundgerüst einer (y,x)–Wertetabelle (nicht (x,y)) könnte so aussehen:

y | y < x < y²+1
--------------------
0 | 0 < x < 1
...
1 | 1 < x < 2

(Streng genommen fehlen für abgeschlossene Intervalle ja noch Gleichheitszeichen, aber ob über abgeschlossene oder über offene Intervalle integriert wird, führt hier bei dieser Aufgabe ja auf dasselbe Ergebnis 67/120.)

Jedenfalls ist aus der Zeile
0 | 0 < x < 1 ablesbar, dass der Punkt O(0|0) was mit dem Integrationsbereich zu tun haben muss, und den Punkt (x=1|y=0) nennen wir mal P. Wegen y=0 für beide Punkte liegt die Strecke von O(0|0) nach P(1|0) auf einer Geraden (x-Achse). Da y<0 im Integral nicht vorkommt, liegt diese Strecke zugleich am Rand des Integrationsgebietes.

Von O nach P ging es dem Uhrzeigersinn entgegen, nun einfach mal von O aus anders herum weiter:
Für y=1 liegt x zwischen 1 und 2 (Zeile
1 | 1 < x < 2)
und damit ergibt sich die Koordinate eines dem Punkt O "benachbarten" Punktes (er heiße S):
S(1|1). Wegen y < x gibt es auch keine Koordinatenpaare, bei denen x<y ist. Damit liegt die Strecke OS ebenfalls auf einer Geraden: Zwischen den Randpunkten O und S gilt für den Rand (wie schon zwischen den Randpunkten O und P) ein linearer Zusammenhang y(x).

Mal sehen, ob folgendes nun beantwortbar ist:
In diesem Sinn (Uhrzeigersinn) weiter gehend, wobei das Maximum y=1 unverändert bleibt, gelangt man zu welchem Punkt R(x|1), den man aus (welcher Zeile) der Tabelle entnimmt? Besteht von S nach R wieder ein linearer Zusammenhang y(x)?

Ich gebe vorerst zurück mit der Frage, was mit dem bisher fehlenden Bereich zwischen P und R ist: Wenn man die Punkmenge Q einführt als Menge der Punkte zwischen P und R, liegen alle Q(x|y) dann auf einer Geraden?

11.01.2015, 20:10

Bananenbruno

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zu a) nur Vermutung
bei a) ist meiner Ansicht nach nicht viel mehr verlangt als die Integralgrenzen abzulesen und entweder in Intervallschreibweise in Mengenklammern umzuschreiben (also in etwa so: $\begin{eqnarray*} B = \{(x, y) | [0, ...]\times[0, 1] \} \end{eqnarray*}$ ), wobei sich das was da noch fehlt, nach dem vollständigen Lösen von b) ergeben sollte (den Integrationsbereich nenne ich mal B).

Oder (ja, fast einfach abgeschrieben) etwa sowas wie $\begin{eqnarray*} B = \{(x, y) | y \leq x \leq {y}^{2}+1, 0 \leq y \leq 1\} \end{eqnarray*}$ wobei die Gleichheitszeichen für ein offenes Intervall weggelassen werden, bei abgeschlossenem Intervall stehen bleiben. Wobei das bei dieser Aufgabenstellung wiederum keinen Unterschied macht.

Evtl. gehört zu beiden Schreibweisen noch sowas wie $\begin{eqnarray*} \in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit dazu. Soweit meine unmaßgebliche Meinung, in welche Richtung man a) angehen könnte. Weit interessanter finde ich natürlich d).

12.01.2015, 00:29

igoo

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Erstmal danke für die Antworten.
a)
Die Menge habe ich auch so aufgeschrieben! B={(x,y)eR^2|y......} halt einfach abgeschrieben.
um ehrlich zu sein habe ich die Erklärung oben nicht ganz nachvollziehen können, schaue ich mir morgen nochaml an.

zu 3 hätte ich noch ne Frage zum geometrischen Schwerpunkt.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \!\int_a^b \! 1 \, dx dy \end{eqnarray*}$
a=sqrt(1-y) und mit b=y-1
damit habe ich den Flächeninhalt berechnet.
Kann man nun um den Schwerpunkt zu berechnen die Formel
$\begin{eqnarray*} xs=1/A\int_0^1 \!\int_a^b \! x \, dx dy \end{eqnarray*}$ benutzen.
Mit den gleichen Grenzen a und b. Dasselbe auch für ys mit dem Integrand y.
Habe ja die Grenzen a und b nach x umgestellt, weil ich eine linke und rechte Begrenzungsfkt. hatte und keine obere und untere. Ich hoffe, dass ist richtig so...weil ich bin beim berechnen auf ein Integral gestoßen was ich nicht berechnen konnte (ysqrt(1-y)dy). Vllt sitze ich schon zu lange vor dem Mist verwirrt

Das Bild zeigt meine Skizze zu 2b, bin mir nicht sicher ob das so richtig ist.

ManOhman das ist bestimmt alles relativ easy aber irgendwie fällt der Groschen noch nicht so wirklich. Hat jemand vllt. ein Buchvorschlag oder ne Website mit eine Menge an Bsp. und was mit nicht ganz so viel Fachchinesisch auskommt.

12.01.2015, 01:12

Bananenbruno

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zur Skizze zu H2(b)

Zitat:

Das Bild zeigt meine Skizze zu 2b, bin mir nicht sicher ob das so richtig ist.

Einiges an der Skizze passt zu den Gegebenheiten, aber der Punkt S(1|1) scheint darin nicht berücksichtigt worden zu sein. Warum kann z. B. der Punkt (x=0,1 | y=0,9) nicht in B liegen?

Antwort auf meine vor-vorletzte Frage nach dem x von R(x|1): R(2|1) (Warum?).
Insbesondere die x-Koordinate 2 sollte in der Skizze deutlich deutlicher werden.

Meine abschließende Frage nach dem bisher fehlenden Bereich zwischen P und R sollte ich noch präzisieren:
Wenn man die Punkmenge Q einführt als Menge der Punkte am Rand von B zwischen P und R, liegen dann alle Q(x|y) auf einer Geraden? Die Antwort ist in der Skizze attachmentid=36756 ja angedeutet erkennbar: Nein.

Ein das bisher Geschriebene zusammenfassender Satz:
Somit ergibt sich eine vorläufige Beschreibung des Randes von B durch die Punkte/Punktmengen O, P, Q(x(y)|y), R und S. Diese wird man bei d) vermutlich nochmal verwenden und ggf. Q(x(y)|y) noch genauer umschreiben müssen.

Für die H3 würde ich einen separaten Thread starten, aber ich sehe mir die erstmal an und schreibe ggf. hier etwas dazu.

12.01.2015, 08:46

igoo

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Afg.teil b)

So habe mir das nochmal angeguckt... das sollte so aussehen (s.Bild). Eigentlich hatte ich das auch schon so Hammer

12.01.2015, 15:08

Bananenbruno

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zur neuen Skizze für H2(b)

Zitat:

von igoo
Afg.teil b)

So habe mir das nochmal angeguckt... das sollte so aussehen (s.Bild).

Das sieht besser aus bis auf die noch erkennbare Abweichung von der Vorgabe, dass der Integrationsbereich im Punkt (1|0) rechtwinklig von der x-Achse abknicken muss.

12.01.2015, 16:45

Bananenbruno

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Zitat:

zu 3 hätte ich noch ne Frage zum geometrischen Schwerpunkt.
Kann man nun um den Schwerpunkt zu berechnen die Formel [...] benutzen.
Mit den gleichen Grenzen a und b. Dasselbe auch für ys mit dem Integrand y.

Zum Vergleich habe ich ja meine Berechnungen hier, und wenn wir nicht beide denselben Fehler gemacht haben, dann würde sich nach meinem Wunschdenken die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass wir beide unabhängig voneinander das richtige Ergebnis erhalten haben. Etwas objektiver auf grobe Richtigkeit überprüfen lässt sich z. B. damit, die blau umrahmte Fläche aus gleichmäßig dickem (noch besser: dichtem) Karton auszuschneiden. Wenn der berechnete Schwerpunkt, auf eine Stiftspitze gelegt, im Gleichgewicht bleibt, siehts jedenfalls nicht völlig falsch aus.

Zitat:

Habe ja die Grenzen a und b nach x umgestellt, weil ich eine linke und rechte Begrenzungsfkt. hatte und keine obere und untere.

Bei der H3 kann man das ja machen, aber bei der H2 ist man spätestens bei d) gewzungen, die alternative Möglichkeit ebenfalls anzuwenden. Denn es muss auf beide Arten gehen: egal, ob ... dx dy oder ... dy dx integriert wird. Bei der Reihenfolge von H3 nach H2 bekomme ich den Eindruck, dass die didaktisch so angelegt sind: Wenn man H2 d) lösen kann, in der man gezwungen wird, stückweise definierte Funktionen im Ansatz fürs Integral zu verwenden, dann wird man sich in H3 bei der Integration ebenfalls zutrauen, die stückweise Zerlegung auszuprobieren. Man hat ja die Kontrollmöglichkeit: dasselbe Ergebnis erhalten zu müssen. Insofern hat man auch hier nicht nur eine linke und rechte Randkurve, sondern auch eine obere und untere, die durch eine Funktion (bzw., stückweise durch "zwei verschiedene Funktionen") beschrieben werden kann.

Zitat:

ich bin beim berechnen auf ein Integral gestoßen was ich nicht berechnen konnte (ysqrt(1-y)dy).

Wenn ich mich hier nicht vertippe, dann hilft es weiter,
$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{5} (1-y)^\frac{5}{2} + x(1-y)^\frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$ nach y abzuleiten.

12.01.2015, 17:03

Bananenbruno

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zur Stammfunktion bei H3

Zitat:

ich bin beim berechnen auf ein Integral gestoßen was ich nicht berechnen konnte (ysqrt(1-y)dy).

Wenn ich mich jetzt nicht nochmal vertippt habe, dann hilft es weiter, $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3}(\frac{2}{5} (1-y)^\frac{5}{2}+y(1-y)^\frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$ nach y abzuleiten.

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