Reihenwerte für |x|<1

10.01.2015, 22:55

Rinfinity

Reihenwerte für |x|<1

Einen schönen Abend wünsche ich!

Ich sitze an einer Aufgabe, die da lautet:

Gesucht sind die Werte der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n^2x^n \end{eqnarray*}$ für |x|<1.

Leider komme ich nicht wirklich weit. Ich vermute, dass man irgendwie die geometrische Reihe verwenden muss. |x|<1 macht dies ja deutlich.
Ein wenig habe ich schon rumprobiert, Indexverschiebung gemacht, ein x vor die Summe gezogen... das war's dann auch schon.

Für Tipps wäre ich sehr dankbar!

Gruß
Rinfinity

edit: Falls ich etwas wichtiges an Information für euch vergessen habe, teilt es mir mit. Das ist mein erster Post hier. smile

10.01.2015, 23:49

Helferlein

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Du könntest es z.B. über die ersten beiden Ableitungen der geometrischen Reihe versuchen.

11.01.2015, 16:17

Rinfinity

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Danke, das hat mir geholfen!

Ich konnte die Aufgabe lösen, indem ich das $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (n(n-1)+1) \end{eqnarray*}$ umgeformt und die Summe auseinander gezogen habe. Anschließend musste man nur noch ein $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ beziehungsweise ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vor das jeweilige Summenzeichen ziehen und man konnte die Summen durch die Ableitungen ersetzen smile

Hast du auch einen Hinweis zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2015, 16:23

Helferlein

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Liegt das nicht ebenso nahe? Der Term $\begin{eqnarray*} \frac 1nx^n \end{eqnarray*}$ sollte Dir aus der Ableitungstheorie bekannt vorkommen.

11.01.2015, 17:57

Rinfinity

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Danke für deine rasche Antwort.

Ich habe mich mal dran gesetzt und folgendes kam heraus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n} x^n=\sum\limits_{k=1}^\infty \int x^{n-1} dx=\sum\limits_{k=0}^\infty \int x^n dx = \int \frac{1}{1-x} dx = -ln(1-x) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Darf ich im dritten Schritt einfach so die Indexverschiebung vornehmen?

11.01.2015, 18:02

Helferlein

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Die Indexverschiebung ist nicht das Problem. Interessanter ist wieso Du Integration und Summe vertauschen darfst. Das ist ja nicht immer richtig.

11.01.2015, 19:01

Rinfinity

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Ich habe mal danach gesucht. Es hat wohl was mit gleichmäßiger Konvergenz zu tun. So ganz einleuchten will es mir allerdings noch nicht.

In diesem Fall stimmt es aber?

11.01.2015, 19:47

Matt Eagle

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RE: Reihenwerte für |x|<1

Zitat:

Original von Rinfinity
Gesucht sind die Werte der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n^2x^n \end{eqnarray*}$ für |x|<1.

Für diese Aufgabe kommt man mit dem Cauchyprodukt auch ohne glm. Kgz., Diff. und Int. Rechnung aus.

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