Erzeugendensystem
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11.01.2015, 01:04 qp15 Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem
Meine Frage:
Kann mir irgendjemand erklären, wie man herausbekommt, ob z.B. drei Vektoren ein Erzeugendensystem bilden?

Ich verstehe einfach nicht, wie das gehen soll.

Meine Ideen:
keine
11.01.2015, 01:14 wopi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
drei Vektoren bilden im R3 ein Erzeugendensystem, wenn sie linear unabhängig sind
11.01.2015, 01:15 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das hängt nicht nur von den Vektoren sondern auch vom zugrundeliegenden Vektorraum ab, mit anderen Worten: ein Erzeugendensystem welchen Raumes sollen die denn bilden?

Ansonsten bleibt so allgemein formuliert zunächst wohl nur "Gauß" als Antwort.
11.01.2015, 01:16 RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Ein Erzeugendensystem wofür? Werd mal etwas spezifischer.

Edit: drei sind zwei zuviel. Ich bin wieder weg.
11.01.2015, 01:20 wopi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von wopi
drei Vektoren bilden im R3 ein Erzeugendensystem, wenn sie linear unabhängig sind


in einem beliebigen Vektoraum muss sich zusätzlich jeder Vektor dieses Raums als Linearkombination der drei Vektoren darstellen lassen.
11.01.2015, 01:42 qp15 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Das hängt nicht nur von den Vektoren sondern auch vom zugrundeliegenden Vektorraum ab, mit anderen Worten: ein Erzeugendensystem welchen Raumes sollen die denn bilden?

Ansonsten bleibt so allgemein formuliert zunächst wohl nur "Gauß" als Antwort.



Wir sollen prüfen, ob die Vektoren {1,0,3}; {2,1,-1} und {3,1,2} ein Erzeugendensystem bilden.

Also ein Erzeugendensystem des Raumes R^3
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11.01.2015, 01:46 wopi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von wopi
Zitat:
Original von wopi
drei Vektoren bilden im R3 ein Erzeugendensystem, wenn sie linear unabhängig sind


in einem beliebigen Vektoraum muss sich zusätzlich jeder Vektor dieses Raums als Linearkombination der drei Vektoren darstellen lassen.


die Dimension des Raums kann natürlich nicht größer als drei sein!
11.01.2015, 01:51 qp15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von wopi
Zitat:
Original von wopi
Zitat:
Original von wopi
drei Vektoren bilden im R3 ein Erzeugendensystem, wenn sie linear unabhängig sind


in einem beliebigen Vektoraum muss sich zusätzlich jeder Vektor dieses Raums als Linearkombination der drei Vektoren darstellen lassen.


die Dimension des Raums kann natürlich nicht größer als drei sein!


Wieso nicht?
Vektoren wie z.B. {1,4,3,0} , also R4, gehen doch auch, oder?
11.01.2015, 01:53 wopi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
drei Vektoren können höchstens einen Raum der Dimension 3 erzeugen.
Genau dann, wenn sie linear unabhägig sind!
Deine drei vektoren sind linear abhängig, da der dritte die Summe der beiden ersten ist!
11.01.2015, 02:01 qp15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von wopi
drei Vektoren können höchstens einen Raum der Dimension 3 erzeugen.
Genau dann, wenn sie linear unabhägig sind!
Deine drei vektoren sind linear abhängig, da der dritte die Summe der beiden ersten ist!


Achsoo, ja klar. Du hast Recht. Ich hab die Dimension mit dem Vektorraum verwechselt. Danke!

Das bedeutet, dass die Vektoren keine Dimension haben, weil sie linear abhängig sind, oder?
11.01.2015, 02:04 wopi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
die drei Vektoren spannen nur den R2 (Dimension 2) auf, weil die beiden ersten linear unabhängig sind (keiner ist ein Vielfaches des anderen);
alle drei zusammen aber nicht!
11.01.2015, 02:12 qp15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von wopi
die drei Vektoren spannen nur den R2 (Dimension 2) auf, weil die beiden ersten linear unabhängig sind (keiner ist ein Vielfaches des anderen);
alle drei zusammen aber nicht!


Jetzt habe ich es verstanden. smile Danke

Woher weißt du, dass linear unabhängige Vektoren ein Erzeugendensystem bilden?
11.01.2015, 02:33 wopi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
n linear unabhängige Vektoren eines n-dimensionalen VR bilden immer eine Basis.
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
11.01.2015, 02:48 RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von qp15

Woher weißt du, dass linear unabhängige Vektoren ein Erzeugendensystem bilden?


Vielleicht solltest du dir mal den Zusammenhang von linearer Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und Dimension eines Vektorraums angucken.

Es ist übrigens nicht so (ein Denkfehler, den viele machen), dass die Vektoren in einem Erzeugendensystem linear unabhängig sein müssen. Dies ist nur bei einer Basis der Fall, die damit ein minimales Erzeugendensystem eines VR oder eines UVR (Untervektorraum) bildet.
11.01.2015, 02:52 qp15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von wopi
n linear unabhängige Vektoren eines n-dimensionalen VR bilden immer eine Basis.
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.


Vielen Dank. Dank dir hab ich es endlich verstanden. Danke vielmals : ))))
11.01.2015, 03:00 qp15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von qp15

Woher weißt du, dass linear unabhängige Vektoren ein Erzeugendensystem bilden?


Vielleicht solltest du dir mal den Zusammenhang von linearer Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und Dimension eines Vektorraums angucken.

Es ist übrigens nicht so (ein Denkfehler, den viele machen), dass die Vektoren in einem Erzeugendensystem linear unabhängig sein müssen. Dies ist nur bei einer Basis der Fall, die damit ein minimales Erzeugendensystem eines VR oder eines UVR (Untervektorraum) bildet.


Richtig genau. Danke.
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