Integral Berechnung bezüglich Maß

11.01.2015, 11:44	Ben Toasty	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Berechnung bezüglich Maß Hallo Ich komme leider bei einer Aufgabe nicht weiter und hoffe mir kann jemand helfen dass Integral zu lösen Sei $\begin{eqnarray} \Omega = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Sigma= \{ A\subset \mathbb{R}^2 : \{ y \in \mathbb{R}^2 : (n,y) \in A \} \in \mathbb{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray}$ Weiter ist das Maß gegeben durch: $\begin{eqnarray} \mu (A) := \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \lambda(\{ y \in \mathbb{R}: (n,y)\in A \}) \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} (\Omega,\Sigma,\mu) \end{eqnarray}$ ein Maßraum, wobei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ das Lebesgue-Maß ist. Nun die eigentlich Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} A=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \|y\| \leq x^2\} \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} f_{2}(x,y)=y \mathbf{1}_{A} (x,y) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathcal{L}^1 (\Omega,\Sigma,\mu) \end{eqnarray}$ liegen und bestimme $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^2}f_{2}d\mu \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Den ersten Teil der Aufgabe wo man das gleiche für $\begin{eqnarray} f_{1}(x,y)= \mathbf{1}_{A} (x,y) \end{eqnarray}$ machen musste habe ich bereits gelöst. Das Problem bei f2 ist nun das y als Koeffizient, wodurch es ja keine einfache Funktion mehr ist. Meine Idee war f2 als einfache Funktionenfolge zu approximieren und dann ggf mit Beppo Levi oder Satz von Lebesgue Integral und Limes zu tauschen, um das Integral einfach auszurechnen. Daran bin ich leider gescheitert. Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben. Vielen Dank und einen schönen Sonntag

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