Einfache Gleichung lösen(Binomische Formel)

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Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache Gleichung lösen(Binomische Formel)
Hallo zusammen.

Ich stehe gerade vor einem (eigentlich einfachem) Problem, aber habe keine Ahnung mehr wie ich das Problem lösen muss.
Ich habe 2 Aufgaben(mit vielen Teilaufgaben).

Bei der ersten Aufgabe soll ich die folgende quadratische Gleichung lösen:
x²-5x+6 = 0
Ich weiß auf jeden Fall, dass ich das ganze mit Hilfe einer binomischen Formel zum Schluss umformen kann, habe aber keine Ahnung mehr wie.

Die zweite Aufgabe sagt, dass ich die Zahl der Lösungen bestimmen soll:
8(x-7)(x-1)=15
Ich vermute mal, dass ich hier die Möglichkeiten für x aufschreiben soll(?).

Ich hoffe ihr könnt mir das ganze näher bringen oder erklären.

Vielen Dank.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

sagt dir die pq-Formel oder die quadratische Ergänzung etwas?
 
 
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Die pq-Formel sagt mir nichts, aber quadratische Ergänzung hatten wir schon mal.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dann arbeiten wir mit quadratischer Ergänzung:

Deren Ziel ist es, die gegebene Funktion derart umzuformen, dass sie der dritten Binomischen Formel entspricht.
Weißt du noch, wie man das macht?
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade nicht.
Ich lese mir in 10 Minuten dazu mal etwas durch, aber da klingelt auf jeden Fall etwas.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

mach das. Dann kannst du dich wieder melden.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mi_cha
gut, dann arbeiten wir mit quadratischer Ergänzung:

Deren Ziel ist es, die gegebene Funktion derart umzuformen, dass sie der dritten Binomischen Formel entspricht.

Eigentlich eher der ersten oder zweiten. Augenzwinkern
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder bin ich zu doof zum umformen oder ich weiß auch nicht.
Wenn ich die Gleichung umforme sehe ich keine Möglichkeiten die in eine Binomische Formel umzuwandeln.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

die Idee ist folgende: Man berachtet lediglich den Teil mit x, also .

Das entspricht der zweiten bin. Formel . Es fehlt also noch der letzte Teil. Man sieht schnell, dass sein muss und aus lässt sich bestimmen.

Wenn man dieses gefunden hat, kann man die 2. bin. Formel vervollständigen.

Kannst du das b berechnen?
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube b ist 2.5.
Da x = a ist kann ich das ja streichen.
Dann das ganze noch durch 2 teilen und dann sollte ich b haben, oder?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, .

Also kannst du nun die bin. Formel vervollständigen, indem du das fehlende hinzuaddierst.

Danach folgt der nächste Schritt, aber erstmal brauchen wir die "neue" Funktion.
gast1101 Auf diesen Beitrag antworten »

Am Rande:

Bei Aufgabe 1 könnte man auch an den Satz von Vieta denken, falls bekannt. Wink
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt bei mir stehen:
x²-2*x*2.5+6
Eigentlich müsste ich doch jetzt *2.5 rechnen, oder nicht?
Oder falsch aufgeschrieben?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

das ist die Ausgangsfunktion. Aber es fehlt der -Teil.

Es sollte so aussehen:

.

Klar?
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz klar.
Müsste ich dann nicht eigentlich nur noch 2x haben?
Auf der anderen Seite steht dann auch 2.5²?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

wir brauchen schon 5 x, man darf ja nicht einfach etwas wegnehmen.
[Die 5 setzen sich aus 2*2,5 zusammen. Diesen Schritt haben wir gemacht, um das b zu ermitteln]

Du hast jetzt also - da wir ja Nullstellen berechnen -



Falls ja, sehr gut.
Ich habe Klammern gesetzt. So siehst du die bin. Formel besser. Kannst du diese umformen?
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

(x-2.5)²+6=2.5²

Okey jetzt habe ich es glaube ich verstanden smile
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

sehr gut. Ab hier gibt es zwei Möglichkeiten weiterzurechnen.

Ich schlage diejenige vor, bei der wir die +6 auf die andere Seite bringen. Anschließend wird die Wurzel gezogen. Bekommst du das hin?
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal:
(x-2.5)²=2.5²-6
Danach die Wurzelziehen:
(x-2.5)=2.5-6
Oder muss ich von 6 auch noch die Wurzel ziehen?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht ab der zweiten Zeile. So wir du die Wurzel gezogen hast, ist es falsch.
Rechne die rechte Seite aus und ziehe erst dann die Wurzel. Beachte außerdem, dass es zwei Lösungen gibt.
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey also:
(x-2.5)²=2.5*2.5+6
(x-2.5)²=12.25
Wurzelziehen:
x-2.5=3.5
Also:
x=6 ?
Das kann aber nicht richtig sein, oder?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

das ist leider nur die halbe Wahrheit. Du musst hier beachten, dass es links zwei Lösungen der Wurzel gibt.
Man schreibt das so:
.

Hier ist eine kleine Fallunterscheidung notwendig.
Eine Lösung hast du schon. Es fehlt noch diejenige für den Fall, dass x-2.5 negativ ist.
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich wieder nicht.
Demnach müsste x ja 3 sein.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

einen Schritt zurück. Rechst steht nicht 12,25 sondern 0,25.

Ich habe mich auch verschrieben. Wir haben also zunächst




Der Betrag ist notwendig, da wir nicht genau wissen, wie x aussieht.
Den Betrag muss man dann auflösen mit einer Fallunterscheidung.
a) x-2,5=0,5
b) -(x-2,5)=0,5

Daraus ergeben sich die zwei Lösungen.
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey habe meinen Fehler gefunden und es glaube ihn nun verstanden.
Ich versuche gleich mal die restlichen Aufgaben zu lösen.

Vielen Vielen Dank für deine Geduld.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

keine Ursache. smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Abschluss dann vielleicht noch eine Anmerkung:

Es geht in der Tat auch mit der dritten binomischen Formel (wobei dann hier zuerst die zweite und danach die dritte benutzt wird).
Lernen viele Schüler vielleicht nicht unbedingt auf diesem Weg, ist aber insofern praktisch, als dass man (zumindest bei entsprechend schönen Zahlen) komplett um das Wurzelziehen herumkommt.

x²-5x+6=x²-5x+2,5²-2,5²+6=(x-2,5)²-0,25=(x-2,5)²-0,5²=(x-2,5+0,5)(x-2,5-0,5)=(x-2)(x-3)

und damit (x-2)(x-3)=0 <=> x=2 oder x=3
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

@Bjoern

Das war auch eigentlich meine Intention. Aber es hat sich anders entwickelt smile
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey bei zwei Aufgaben bin ich nun schnell durchgekommen.

Hake gerade bei folgender:
x²-x+0.3=0

Meine Vermutung war, dass b 0.5 ist, aber das geht glaube ich nicht auf.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

du hast recht, dass b=0,5 ist und auch mit der Tatsache, dass das nicht aufgeht.

Diese Funktion hat demnach keine Nullstelle.

Du erhältst vermutlich das hier:



Wenn du nun die Wurzel ziehen möchtest, stellst du fest, dass man das aus einer negativen Zahl nicht machen kann.
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Also soll die Teilaufgabe eine Falle sein?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

das kommt darauf an, wie die Aufgabenstellung lautet
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Löse folgende quadratische Gleichungen.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist die Lösung die leere Menge, oder in Zeichen
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey.
Letzte Aufgabe bei der es hakt:
x²+4x=7
b ist 2.
Also:
x²+4x+2²=7+2²
-> (x+2)²=11
Das Ergebnis ist dann aber wieder komisch.
Irgendwo muss ich wieder einen Fehler haben
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

die Rechnung stimmt soweit. Es kommen Ergebnisse mit Wurzeln heraus. Das ist aber nicht ungewöhnlich
Cr41s3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey gut danke.
Dann bin ich für heute fertig.

Schönen Abend noch smile
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Schönen Abend. Wink
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