Äquivalenz mit Skizze beweisen + Frage zu De Morgansche Regel

11.01.2015, 14:01

Matt99

Äquivalenz mit Skizze beweisen + Frage zu De Morgansche Regel

Hallo, ich mache gerade ein paar Wiederholungsaufgaben zu Mathematik aus dem letzten Semester und habe da ein paar Frage:

"Beweisen Sie: A $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ B ist aquivalent zu $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ B. Verdeutlichen Sie das anhand
einer Skizze von einem Mengendiagramm."

Ich weiß, dass bei der Implikation folgendes gilt:
- Wenn A wahr ist, muss B auch wahr sein
- Wenn A falsch ist, kann B wahr oder (einschließendes und) falsch sein

Da also der Wahrheitswert von B abhängig von A ist, hab ich es mir so gedacht:
[attach]36733[/attach]
Nur befürchte ich, dass dies eher falsch ist. Auch wie ich $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ B veranschaulichen soll ist mir ein Rätsel, da ich nicht weiß wie ich eine Negation zeichnen soll. Eventuell das Ding umkehren und sagen $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ B = $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ ( A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ B ) und daraus A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ B machen...?

Zum zweiten, de Morgan'sche Regel. Ich weiß wie sie lautet und was es bedeutet. Auch kann ich die Regel mit einer Wahrheitstabelle beweisen. Wie beweise ich diese Jedoch auf andere Weise? Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ ( A $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ B ) = ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ A ) $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ B )
0 = $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ ( A $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ B ) $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ A ) $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ B )
... und nun alles auf eine Seite zu ziehen um am Ende 0 = 0 zu bekommen. Wie erziele ich das nun?

11.01.2015, 16:53

RavenOnJ

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RE: Äquivalenz mit Skizze beweisen + Frage zu De Morgansche Regel
Deine Zeichnung ist falsch, du hast die Rollen von A und B vertauscht. Das Innere einer Figur repäsentiert den Bereich, in dem eine Aussage wahr ist. B kann wahr sein, auch wenn A falsch ist, B muss aber wahr sein, wenn A wahr ist. Daraus folgt, dass Figur A innerhalb von Figur B liegen muss. $\begin{align*} \neg A \end{align*}$ ist einfach der Bereich außerhalb der Figur A, also der grüne+blaue Bereich. Ein Bild:
[attach]36740[/attach]

Der blaue+gelbe Bereich ist B. $\begin{align*} \neg A\lor B \end{align*}$ ist also der gesamte Bereich. So muss es auch sein, denn $\begin{align*} A\Rightarrow B \end{align*}$ erfasst auch den gesamten Bereich. Ich würde mir die Äquivalenz mit einer Wahrheitstabelle verdeutlichen. Nur bei A=wahr und B=falsch wird $\begin{align*} A\Rightarrow B \end{align*}$ falsch, ansonsten immer wahr (A=w und B=w: gelb; A=f und B=f: grün; A=f und B=w: blau). Dasselbe in $\begin{align*} \neg A\lor B \end{align*}$ . A=w und B=f wäre die Schnittmenge des grünen mit dem gelben Bereich, die offensichtlich leer ist. Du kannst die Beziehung übrigens auch schreiben als $\begin{align*} (\neg A\land \neg B)\lor (\neg A\land B)\lor (A\land B) \end{align*}$ .

Deine Rechnung zur De Morganschen Regel verstehe ich nicht.

11.01.2015, 17:33

Matt99

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Alles klar, dass mit der Skizze ist einleuchtend, danke!

Zitat:

Original von RavenOnJ
Deine Rechnung zur De Morganschen Regel verstehe ich nicht.

Die Aufgabe heißt:
"Beweisen Sie $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ ( A $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ B ) = ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ A ) $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ B )."
Dies ist offensichtlich de Morgan'sche Regel. Wie gesagt kann ich diese mittels Wahrheitstabelle beweisen, jedoch nicht auf "herkömmliche Weise". Ich wollte den Satz "0 setzen" und dann so umtellen, dass auf beiden Seite nur noch 0 bleibt und der Satz somit als "richtig" bewiesen wurde.

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