Differenzierbarkeit auf den Definitionsbereich

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11.01.2015, 15:32

Lukases2

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Differenzierbarkeit auf den Definitionsbereich

Meine Idee

Ableitung:
Wir haben das Skalarprodukt wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} <uv> = \sum\limits_{j=1}^n u_j v_j \end{eqnarray*}$
Folglich müsste es ja dann so aussehen:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\sum\limits_{j=1}^3 f(x)_j g(x)_j = f(x)_1 g(x)_1 + f(x)_2 g(x)_2 + f(x)_3 g(x)_3 \\ = 2x^4 - \frac{1}{2}x^3 \end{eqnarray*}$
Liege ich damit richtig?
Differenzierbarkeit
Um die Differenzierbarkeit in einem Punkt zu testen, müsste ich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
überprüfen.
Nur weiß ich nicht, wie ich die Differenzierbarkeit auf den gesamten Definitionsbereich testen kann, denn der Def.bereich hat ja unendlich viele Punkte, die ich testen müsste.

11.01.2015, 15:36

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RE: Differenzierbarkeit auf den Definitionsbereich
F ist ein Polynom, was willst du da noch viel begründen?

11.01.2015, 15:43

Lukases2

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Zitat:

F ist ein Polynom, was willst du da noch viel begründen?

Ich verstehe leider nicht, was du mir damit sagen willst. Kannst du das vielleicht noch ein wenig ausführen?

11.01.2015, 15:46

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Du hast doch F ausgerechnet und siehst, dass es ein Polynom ist, oder?
Dass Polynome auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ differenzierbar sind, werdet ihr wohl schon gezeigt haben.
Edit: Übrigens hast du noch einen Fehler in deinem F. Ein Polynom bleibt es aber Augenzwinkern

11.01.2015, 16:00

Lukases2

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Zitat:

Du hast doch F ausgerechnet und siehst, dass es ein Polynom ist, oder?

Das sehe ich, ja.

Zitat:

Dass Polynome auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ differenzierbar sind, werdet ihr wohl schon gezeigt haben.

Ich kann in meinem Skript dazu nichts finden, aber es kann sein, dass ich da irgendwas verpasst habe. Eigentlich sind wir nämlich schon aus diesem Thema raus.
Heißt das jetzt, dass ich schreiben kann, dass F auf den Definitionsbereich diffbar ist, weil alle Polynome auf den Deffinitionsbereich diffbar sind?

Was die Ableitung betrifft:
Darf ich immer noch die grundsätzliche Ableitungsregel
$\begin{eqnarray*} (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha -1} \end{eqnarray*}$
verwenden? Ich bin ein wenig verwirrt, wir haben auch das mit dem Grenzwert gemacht, aber auch da geht es ja nur um die Ableitung in einem Punkt.

Zitat:

Edit: Übrigens hast du noch einen Fehler in deinem F. Ein Polynom bleibt es aber

$\begin{eqnarray*} F(x) = x^4- \frac{1}{2}x^3 \end{eqnarray*}$

11.01.2015, 16:16

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Schreiben kannst du das auf jeden Fall, richtig ist es auch. Wie der Korrektor reagiert, kann ich dir nicht sagen, ich weiß nicht, was ihr alles schon behandelt habt geschockt

Was meinst du mit

Zitat:

auch da geht es ja nur um die Ableitung in einem Punkt

Differenzierbarkeit ist eine punktweise Eigenschaft. Differenzierbarkeit auf dem Definitionsbereich heißt doch nur, differenzierbar in jedem Punkt des Definitionsbereiches.

Wenn du dich nicht auf Differenzierbarkeit der Polynome zurück ziehen willst, wäre hier $\begin{eqnarray*} F(x)-F(x_0) \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges aber festgehaltenes $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Dabei würde $\begin{eqnarray*} a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{eqnarray*}$ helfen.

Ich frage mich die ganze Zeit, warum auf deinem Aufgabenblatt $\begin{eqnarray*} F:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ steht. Entweder ist das falsch oder der Ausschnitt enthält nicht alle relevanten Informationen.
Edit: F ist jetzt richtig.

11.01.2015, 16:42

Lukases2

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Unten siehst du die ganze Aufgabe. Einen Fehler kann man nicht ausschließen, denn bist jetzt hat es noch kaum ein Übungsblatt gegeben, auf dem nicht mindestens ein Fehler zu finden war. Bis jetzt hat auf diesem Blatt aber noch keiner einen Fehler gefunden.

11.01.2015, 16:49

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