Wettfahrt auf einem Rundkurs

11.01.2015, 16:56	_blueser_	Auf diesen Beitrag antworten »
Wettfahrt auf einem Rundkurs Ich hab folgendes Rätsel was ich schon seit längerem versuche zu lösen es jedoch einfach nicht hinbekomme ich hoffe ihr könnt mir hierbei helfen: 3 Personen starten einen Rundkurs um zu wissen wer der schnellste ist, Person A ist mit dem Auto, Person B ist mit dem LKW und Person C mit dem Motorrad unterwegs. Alle Drei Personen bewegen sich von Anfang an mit konstanter Geschwindigkeit. Aufgrund der hohen Leistung ist Person A der schnellste und überrundet Person B zum ersten mal 200m tief in der 5. Runde. Person C überrundet er zum 2. mal nach 800m in der 7. Runde. Person A fällt auf, jedesmal wenn Person B, Person C überrundet auch er an beiden vorbeizieht. Wie lang ist eine Runde?
13.01.2015, 16:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nennen wir die zu bestimmende Rundenlänge $\begin{align} L \end{align}$ (in Meter) sowie die Geschwindigkeiten der drei Fahrzeuge $\begin{align} A,B,C \end{align}$ . Aus den angegebenen Überrundungsinformationen lassen sich Gleichungen für die Geschwindigkeitsverhältnisse $\begin{align} \frac{A}{B} \end{align}$ , $\begin{align} \frac{A}{C} \end{align}$ sowie auch noch zu $\begin{align} \frac{B}{C} \end{align}$ aufstellen. Dieses System hat nur eine mögliche Lösung für $\begin{align} L \end{align}$ , wenn man $\begin{align} L>800 \end{align}$ beachtet. @Moderatoren Bitte verschieben - Schulalgebra ist wohl angemessen.
15.01.2015, 18:06	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Threadersteller scheint das Interesse verloren zu haben. Schade, denn ich finde die Aufgabe interessant. Dann poste ich mal meine Ideen. (Falls er sich wieder meldet, gehört der Thread natürlich ihm.) (1) Während das Auto 4 Runden und 200m zurücklegt, schafft der LKW nur 3 Runden plus 200m. Da der Weg im gleichen Zeitraum zurückgelegt wurde, verhalten sich die beiden Geschwindigkeiten wie die beiden Wegstrecken. $\begin{eqnarray} A:B=(4L+200) : (3L+200) \end{eqnarray}$ (2) Während der 6 Runden und 800m macht, dreht das Moped genau 2 Runden weniger. $\begin{eqnarray} \color{red}A\color{black}:C=(6L+800) : (4L+800) \end{eqnarray}$ (3) Immer wenn der LKW das Moped überrundet, überrundet das Auto zum gleichen Zeitpunkt die beiden Fahrzeuge. Hmm. Da habe ich nur herausgefunden, dass sich die drei Wegstrecken untereinander um ein ganzzahliges Vielfaches von L unterscheiden , aber verwerten konnte ich diese magere Erkenntnis noch nicht. Mehr Infos lese ich aus der Angabe nicht heraus, aber hier meine ich ist der Knackpunkt. Die zwei Verhältnisse kann ich umformen, dann habe ich die drei Geschwindigkeiten, nämlich: $\begin{eqnarray} A; \,\,\,B=\frac{3L+200}{4L+200}\cdot A; \,\,\, C=\frac{2L+400}{3L+400}\cdot A \end{eqnarray}$ Oder bin ich damit auf dem Holzweg? Edit laut HALs Beitrag
15.01.2015, 18:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Anmerkungen: (2') Ich nehme an, bei (2) hast du dich verschrieben und meinst da A:C statt B:C. Aus dem "gekürzten" $\begin{eqnarray} A:C=(3L+400) : (2L+400) \end{eqnarray}$ kann man ablesen, an welchen Wegmarken A das erste mal C überholt hat. (4) Bereits beim ersten (wie bei jedem) Überholvorgang B:C findet auch ein Überholvorgang A:C statt - sagen wir der $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -te. Damit ist aber $\begin{eqnarray} B:C = (k(2L+400)+L) : (k(2L+400)) \end{eqnarray}$ . Aus (1) : (2) = (4) lässt sich eine gemeinsame Gleichung für $\begin{eqnarray} k,L \end{eqnarray}$ entwickeln, die tatsächlich nur eine einzige Lösung $\begin{eqnarray} L>800 \end{eqnarray}$ hat.
15.01.2015, 18:51	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, (2) beschreibt das Verhältnis A : C - Tippfehler. Und ja, auf der rechten Seite habe ich gekürzt. Ich habe schon Gleichungen versucht, in denen die Anzahl der Überholvorgänge vorkommt, aber da ich dafür eine neue Variable benötige, ist mir das zu umständlich erschienen. Dann werde ich in Richtung Deines Vorschlags weiterarbeiten; das kann aber dauern. Vielen Dank vorerst!
15.01.2015, 19:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm, ich hatte mich oben verschrieben: Natürlich ist (2) : (1) = (4) zu setzen, aber das war sicher sowieso klar.
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15.01.2015, 22:32	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst erschien mir das Ergebnis eigenartig, aber nach einigem Nachdenken scheint mir diese Lösung richtig zu sein. Das war zu rechnen: $\begin{eqnarray} \quad\frac{(3L+200)(3L+400)}{(4L+200)(2L+400)}=\frac{k(2L+400)+L}{k(2L+400)} \end{eqnarray}$ Ich erhalte: $\begin{eqnarray} L^2-\frac{200(k+1)}{k-4}\cdot L=0 \end{eqnarray}$ L = 0 (entfällt hier) oder L = 200·(k + 1) / (k - 4) k muss grösser als 4 sein. k = 5 mit L = 1200 ist die einzige Lösung, denn ab k = 6 bleibt L unter 800. Nochmal vielen Dank

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