PDE Wellengleichung in R

11.01.2015, 17:17	Elefant3	Auf diesen Beitrag antworten »
PDE Wellengleichung in R Hallo, Eindimensionale Wellengleichung. Wir haben in der Vorlesung die eindimensionale Wellengleichung hergeleitet. Dies taten wir mit der Randbedingung, dass $\begin{eqnarray} u(x) = 0, u(l)=0 \end{eqnarray}$ . Danach Separation der Variablen und Superposition. Nun habe ich noch die Formel von D'Alambert entdeckt. Die Formel von D'Alambert $\begin{eqnarray} <br /> u_{tt}= c^{2}u_{xx}<br /> u(0,x)=f(x)<br /> u_t(0,x)=g(x)<br /> \text{keine Randbedigungen}<br /> <br /> u(t,x) = \frac{1}{2}(f(x+ct)+f(x-ct)) + \frac{1}{2c}\int \limits_{x-ct}^{x+ct}g(z)dz<br /> \end{eqnarray}$ Nun heisst es, dass die Lösung u(t,x) eindeutig ist. Meine Frage Wie kann die Lösung eindeutig sein, wenn gar keine Randbedigungen definiert wurden? Dies würde ja bedeuten, dass die ganze Herleitung, die wir unter der Annahme von bestimmten Randbedigungen tätigten nicht sehr sinvoll ist, wenn ich einfach immer die Lösungsformel von D'Alambert verwenden. Ist es tatsächlich so, dass die Wellengleichung von D'Alambert eindeutig ist, egal welcher Randbedigung? Danke für alle Antworten Elefant
11.01.2015, 17:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: PDE Wellengleichung in R D'Alembert gehört zu einem Anfangswertproblem, du betrachtest allem Anschein nach ein Randwertproblem. Stellst du zusätzlich zu den Anfangs- noch Randbedingunfgen, ist das Problem vielleicht überhaupt nicht lösbar.
12.01.2015, 06:16	Elefant3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: PDE Wellengleichung in R Hallo URL, vielen Dank für deine Antwort! Nun stellt sich mir aber folgende Frage: Gegeben ist ein Problem mit Anfangs- und Randbedigungen. i) Wenn ich die Formel von D'Alambert verwende, d.h. wenn ich die Randbedingungen ignoriere, dann komme ich auf eine eindeutige Lösung. ii) Wenn ich die Randbedingungen nicht ignoriere, dann komme ich auf eine andere Lösung. Mir scheint klar, dass ich in i) und in ii) ein anderes Problem löse, und darum auch auf andere Lösugen komme. Was mir nicht so verständlich ist, ist dies. Wie kann die Formel von D'Alambert eine eindeutige Lösung haben, wenn ich einfach 2 Integrationskonstanten ignoriere? Danke nochmals für alle Tipps Elefant3
12.01.2015, 16:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: PDE Wellengleichung in R Mangels konkreter Aufgabenstellung kann ich nur raten, was du machst. Wenn du vollständige Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray} u(0,x),u_t(0,x) \end{eqnarray}$ hast, dann liefert D'Alembert die eindeutig bestimmte Lösung. Hast du zusätzlich Randbedingungen gegeben, kannst du nur noch verifizieren, ob die eindeutigte Lösung des AWP auch die Randbedingungen erfüllt. Mir ist nicht klar, von welchen beiden Integrationskonstanten zu sprichst.
13.01.2015, 07:32	Elefant3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: PDE Wellengleichung in R Hallo URL, Mit Integrationskonstanten meinte ich folgendes. Weil ich in der Wellengleichung ja 2 mal nacht der Zeit ableite und 2 mal nach dem Ort, so müsste ich doch, um eine eindeutige Lösung zu erhalten, 4 mal integrieren, und darum müsste ich auch 4 Integrationskonstanten erhalten, welche ich dann eindeutig durch 2 Randbedingunen und durch 2 Anfangsbedingungen bestimen kann. Kann ich davon ausgehen, dass man in der Formel von D'Alambert implizit Randbedigunen annimmt. Z.B $\begin{eqnarray} u(t,0)=0 , u(0,n\pi) =0 \end{eqnarray}$ ? Danke für deine Antwort, Elefant3
13.01.2015, 09:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die d'Alambertsche Formel löst die Wellengleichung nur für den Fall des unendlich langen Intervalls ohne Rand wie z.B. bei einer unendlich langen Saite. Da eine solche Saite keinen Anfang und kein Ende hat (also keinen "Rand"), gibt es keine Randbedingungen, sondern nur Anfangsbedingungen. Letztere geben die lokale Auslenkung u(x) und die lokale Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \tfrac{du(x)}{dt} \end{eqnarray}$ der Saite zur Zeit t=0 an. Durch deren Angabe ist die Auslenkung u(u,t) der Saite an jedem Ort x und zu jeder Zeit eindeutig bestimmt (Eindeutigkeit der Lösung). Nur wenn die Saite eine endliche Länge a besitzt, sind Randbedingungen notwendig. Beispiel 1: Eine endlich Saite ist beidseitig fest eingespannt wie bei einer Geige. Dann fordert man, dass an den Enden keine Auslenkung vorhanden ist, also u(0)=u(a)=0. Beispiel 2: Eine endlich Saite ist nur einseitig eingespannt wie bei einem Seil, das oben aufgehängt ist und dessen unteres Ende frei schwingt. Dann fordert man u(0)=0 und $\begin{eqnarray} \tfrac{du(a)}{dx}=0 \end{eqnarray}$ . Die 2.Randbedingung besagt, dass am losen Ende keinerlei mechanische Spannung im Seil vorhanden ist, denn physikalisch gesehen ist die 1.Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{du}{dx} \end{eqnarray}$ die lokale mechanische Spannung. Die Saite darf also am losen Ende frei "wedeln".
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