Homöomorphismus finden - Seite 2

14.01.2015, 13:18

duein

Zitat:

Original von Guppi12
Hallo,
Ich hoffe dir ist der Satz bekannt, dass eine stetige surjektive Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi:\xi_\infty\to\mathbb S \end{eqnarray*}$ , die unter $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ invariant ist, bereits einen Homöomorphismus der gesuchten Art induziert, falls $\begin{eqnarray*} \xi_\infty \end{eqnarray*}$ kompakt ist. Es genügt also, eine solche Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zu finden.

Wie sieht man, dass $\begin{eqnarray*} \xi_{\infty} \end{eqnarray*}$ kompakt ist?

14.01.2015, 14:15

RavenOnJ

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Zitat:

Original von duein
Dann die Schnittpunkte des Strahls mit den Kreisen betrachten - und dann findet man eine Umgebung so eines Schnittpunkts, in der ein Punkt auf dem jeweiligen Kreis liegt.

Genau. Versuche eine Abschätzung: Der Punkt auf $\begin{align*} \mathbb S^1 \end{align*}$ sei $\begin{align*} z_\phi :=e^{i\phi} \end{align*}$ (benötigt man u.U. nicht. Man kann auch geometrische Überlegungen anstellen, ohne den Punkt genau zu kennen. Nur aufgrund der Tatsache, dass auf den Kreisen in $\begin{align*} E \end{align*}$ jeweils $\begin{align*} 2^{n+1} \end{align*}$ Punkte im selben Abstand zum nächsten Nachbarn liegen.) Der Abstand eines solchen Kreises in $\begin{align*} E \end{align*}$ zur Sphäre $\begin{align*} \mathbb S^1 \end{align*}$ ist $\begin{align*} 2^{-n} \end{align*}$ . Versuche jetzt zu zeigen, dass in jeder $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} z_\phi \end{align*}$ ein Punkt aus $\begin{align*} E \end{align*}$ liegt. Schätze ab, wie groß du $\begin{align*} n \end{align*}$ dafür wählen musst.

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