2 Ableitung der Produktregel ?

11.01.2015, 18:30

Carragos

2 Ableitung der Produktregel ?

Die Aufgabe: (3 a)
[attach]36743[/attach]

Mein Lösungsansatz:
[attach]36744[/attach]

Meine Frage:
Erste Ableitung ist ja bereits gebildet. Wie komme ich nun auf die geforderte zweite Ableitung ?

11.01.2015, 18:34

Mathema

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Klammere doch noch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ aus und dann wieder die Produktregel verwenden.

Wink

11.01.2015, 18:40

Carragos

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Zitat:

Original von Mathema
Klammere doch noch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ aus und dann wieder die Produktregel verwenden.

Wink

Danke für die schnelle Antwort.
Habe bereits gegoogelt, wie ich das jetzt ausklammern soll.

Hast du eventuell noch einen "Tipp" für mich, wie ich das mit dem ausklammern von
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x + x * e^x \end{eqnarray*}$ anstellen soll ?

Edit: Habs !?

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x (1 + x) \end{eqnarray*}$

Edit 2: Ne, ergibt ja irgendwie keinen Sinn

11.01.2015, 18:44

Mathema

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Ja - das passt doch. Freude

Das macht es auch wesentlich einfacher die Funktion dann auf Extremstellen zu untersuchen, was du ja noch machen sollst.

11.01.2015, 18:53

Carragos

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[attach]36746[/attach]

Wie sieht das bisher aus für dich ?

Ist f''(x) richtig gebildet ?

Und: Wie soll ich jetzt unten bei f(x) = 0 fortfahren ?

11.01.2015, 18:56

Mathema

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Ja - aber auch bei der zweiten Ableitung kannst du wieder $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ausklammern. Augenzwinkern

Bei deiner Gleichung kannst du nun den Satz vom Nullprodukt verwenden.

$\begin{eqnarray*} e^x(x+1) = 0 \end{eqnarray*}$

Wann wird ein Produkt Null?

11.01.2015, 19:04

Carragos

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Ausgeklammert:
$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^x * ((1+x)+1) \end{eqnarray*}$

Naja, ein Produkt wird immer dann Null, wenn ein Faktor darin 0 ist. (Klingt holprig, aber Sinngemäß Augenzwinkern

)

Nunja.

$\begin{eqnarray*} e^x (x + 1) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ wird ja nie = 0 sein.
1 ist 1 und nicht = 0
Also müsste ja x = 0 sein.

Ist dann:

$\begin{eqnarray*} e^x = 0 \end{eqnarray*}$ das Ergebnis ?

11.01.2015, 19:10

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^x * ((1+x)+1) \end{eqnarray*}$

Die Klammer in der Klammer ist eine Plusklammer, die kann man also weglassen und dann noch zusammen fassen.

Zitat:

Naja, ein Produkt wird immer dann Null, wenn ein Faktor darin 0 ist.

Genau das wollte ich hören! Freude

Es ergeben sich also 2 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} e^x=0 \end{eqnarray*}$

Und hier hast du richtig festgestellt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ wird ja nie = 0 sein.

Und die zweite Gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} x+1=0 \end{eqnarray*}$

Und diese Argumentation macht dann keinen Sinn:

Zitat:

1 ist 1 und nicht = 0
Also müsste ja x = 0 sein.

Sondern für welches x ist die Gleichung erfüllt?

11.01.2015, 19:20

Carragos

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$\begin{eqnarray*} f'' = e^x * (2 + x) \end{eqnarray*}$ smile

[attach]36748[/attach]

Danke ! Wie schaut das nun deiner Meinung nach aus ?

$\begin{eqnarray*} TP = (-1 / -0,368) \end{eqnarray*}$

11.01.2015, 19:35

Mathema

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Ja - das sieht doch gut aus. Freude

In einer Arbeit würde ich das vielleicht so schreiben:

notwendige Bedingung für Extrempunkt: $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{e^x}_{\neq 0}(x+1)=0 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} x+1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_E=-1 \end{eqnarray*}$

Dann sieht man noch deinen Gedankengang, den du ja richtig wiedergegeben hattest. Bei deiner Aufzeichnung fehlt er nur.

Und dann eben weiter mit:

hinreichende Bedingung für Extrempunkt:

$\begin{eqnarray*} f''(x_E) = e^{-1}(2-1) = \frac{1}{e}>0 \end{eqnarray*}$

Ob ihr die Begriffe notwendige und hinreichende Bedingung aber schon im Unterricht hattet, weiß ich natürlich nicht.

edit: Schulmathematik wäre auch das deutlich passendere Forum für dieses Problem.

11.01.2015, 19:39

Carragos

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Zitat:

Original von Mathema
Ja - das sieht doch gut aus. Freude

Hatten wir !
Vielen Dank für deine Hilfe und die Tipps ! Freude

11.01.2015, 19:40

Mathema

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Gern geschehen!

Schönen Abend dir.

Wink

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