n mit Binomialverteilung bestimmen

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Paddy91 Auf diesen Beitrag antworten »
n mit Binomialverteilung bestimmen
Meine Frage:
Hallo Leute!

Ich hänge an folgender Stochastik-Aufgabe fest:

Ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95% der Fahrgäste zufrieden sind.
a) Wie hoch ist demnach die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Fahrgästen höchstens zwei unzufrieden sind?
b) Stellen Sie eine Frage, zu deren Beantwortung die Wahrscheinlichkeit \begin{pmatrix} 50 \\ 2 \end{pmatrix} * 0,95^{48} * 0,05^2 berechnet wird.
c) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einer davon unzufrieden ist?
d) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei davon unzufrieden sind?
e) Der Anteil zufriedener Fahrgäste hat sich nach einer Werbeaktion geändert. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden, ist auf 5% gestiegen. Wie groß ist der Anteil zufriedener Fahrgäste nun?


Meine Ideen:
Nun hänge ich an Teilaufgabe d). Meine Ansätze sind folgende:

P(X\geq 2) = 1-P(X<2) = 1-P(X\leq 1) = 1-(P(X=0)+P(X=1)), also

1-P(X=0)-P(X=1) \geq 0,9

Durch Umformen folgt:

-P(X=0)-P(X=1) \geq -0,1 | *(-1)
P(X=0)+P(X=1) \leq 0,1

Nun einsetzen:

\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} *0,05^0 * 0,95^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} *0,05^1 * 0,95^{n-1} \leq 0,1
0,95^n + n*0,05^1 * 0,95^{n-1} \leq 0,1

Und ab hier hänge ich fest. Wie mache ich hier weiter?
Ich könnte vielleicht noch 0,95^{n-1} ausklammern, aber wüsste auch von da nicht, wie ich weiterkomme.
Dass ich durch den Logarithmus an das n im Exponenten komme, ist mir klar, aber den kann ich hier ja nicht so einfach anwenden, weil ich im zweiten Term auf der linken Seite ja ein n in der Basis stehen habe.

Ich habe auch schon über eine Approximation durch andere Verteilungen nachgedacht, aber da stoße ich auch auf Probleme.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir einen Denkanstoß gebt! smile

Gruß,
Patrick
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Patrick,
willkommen im Matheboard!

Schön, dass du dich LaTex bedienst, jedoch wäre es sinnvoll jene Formeln so einzubinden, dass sie als Formeln dargestellt werden. Dies geht indem du sie in die Form schreibst, die entsteht wenn du beim editieren auf das f(x) Symbole klickst.

Zu d)

Die Formel lässt sich meines Wissens nur tabellarisch bzw. numerisch lösen. Zumindest fällt mir akut kein Verfahren ein, wie die Ungleichung algebraisch zulösen wäre.
Paddy91 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh tut mir Leid, ich dachte das wird automatisch übersetzt. Hier ist also die Aufgabe nochmal, dieses Mal hoffentlich besser zu lesen als eben!


Zitat:
Ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95% der Fahrgäste zufrieden sind.
a) Wie hoch ist demnach die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Fahrgästen höchstens zwei unzufrieden sind?
b) Stellen Sie eine Frage, zu deren Beantwortung die Wahrscheinlichkeit berechnet wird.
c) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einer davon unzufrieden ist?
d) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei davon unzufrieden sind?
e) Der Anteil zufriedener Fahrgäste hat sich nach einer Werbeaktion geändert. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden, ist auf 5% gestiegen. Wie groß ist der Anteil zufriedener Fahrgäste nun?


Nun hänge ich an Teilaufgabe d). Meine Ansätze sind folgende:

, also:


Durch Umformen folgt:



Nun einsetzen:



Und ab hier hänge ich fest. Wie mache ich hier weiter?
Ich könnte vielleicht noch ausklammern, aber wüsste auch von da nicht, wie ich weiterkomme.
Dass ich durch den Logarithmus an das n im Exponenten komme, ist mir klar, aber den kann ich hier ja nicht so einfach anwenden, weil ich im zweiten Term auf der linken Seite ja ein n in der Basis stehen habe.

Ich habe auch schon über eine Approximation durch andere Verteilungen nachgedacht, aber da stoße ich auch auf Probleme.



Vielleicht hat ja jemand noch eine Idee?

Gruß,
Patrick
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube kaum, dass da eine weitere kommen wird, weil Gleichungen der Art nicht algebraisch, sondern nur numerisch, lösbar sind.
asdfgh13 Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
wo hast du diese aufgabe entnommen?
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