Konvergiert der Operator?

12.01.2015, 16:29

Bottles

Konvergiert der Operator?

Hallo.

Wenn $\begin{eqnarray*} X=l^2 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x=(x_1,...) \in l^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ definiert ist durch $\begin{eqnarray*} T_n x= (0,...,0,x_n,x_{n+1},...) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ an n-ter Stelle steht, gilt dann $\begin{eqnarray*} ||T-0|| \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ?

Mein Ansatz:
Ja, da:

$\begin{eqnarray*} ||T||=\sup_{x \in l^2, ||x||=1} \sqrt{\sum\limits_{k=n}^\infty |x_k|^2} \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ , da doch die Summe "leer" wird.

Ist das korrekt?

MfG
Bottles

12.01.2015, 16:32

IfindU

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RE: Konvergiert der Operator?
Die Argumentation stimmt für eine feste Folge. Wegen dem Supremum wird es falsche. Finde dafür $\begin{eqnarray*} x^{(n)} = (x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, ... ) \end{eqnarray*}$ , s.d.
$\begin{eqnarray*} \| T_n x^{(n)}\| = 1 \end{eqnarray*}$ für alle n.

Edit: Auch ein n ergänzt.

12.01.2015, 16:36

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RE: Konvergiert der Operator?
Soll das $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ überall ein $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ sein?

12.01.2015, 16:43

Bottles

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RE: Konvergiert der Operator?

Zitat:

Soll das $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ überall ein $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ sein?

Oh, tut mir Leid. Hammer

Wenn $\begin{eqnarray*} X=l^2 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x=(x_1,...) \in l^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ definiert ist durch $\begin{eqnarray*} T_n x= (0,...,0,x_n,x_{n+1},...) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ an n-ter Stelle steht, gilt dann $\begin{eqnarray*} ||T_n-0|| \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2015, 17:01

Bottles

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RE: Konvergiert der Operator?

Zitat:

Die Argumentation stimmt für eine feste Folge. Wegen dem Supremum wird es falsche. Finde dafür $\begin{eqnarray*} x^{(n)} = (x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, ... ) \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} \| T_n x^{(n)}\| = 1 \end{eqnarray*}$ für alle n. Edit: Auch ein n ergänzt.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} x^{(n)} \end{eqnarray*}$ als die Folge setzte, die an der n-ten Stelle $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Gleid hat und sonst überall 0, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} ||T_n x^{(n)}|| = 1 \end{eqnarray*}$ für alle n. Also muss $\begin{eqnarray*} ||T_n|| \geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle n gelten und damit kann $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 konvergieren.

So?

12.01.2015, 17:04

IfindU

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RE: Konvergiert der Operator?
Du musst noch zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} x^{(n)} \end{eqnarray*}$ Norm 1 hat. Dann stimmt es, und du bist fertig.

12.01.2015, 17:06

Bottles

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RE: Konvergiert der Operator?
Okay, danke. Freude

Konvergiert der Operator denn stark oder wenigstens schwach?

12.01.2015, 17:10

IfindU

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RE: Konvergiert der Operator?
Wenn er stark konvergieren würde, dann muss $\begin{eqnarray*} T_n x \to T x \end{eqnarray*}$ fuer alle Folgen X gelten. Damit muss T schon 0 sein, weil $\begin{eqnarray*} T_n x \to 0 \end{eqnarray*}$ fuer festes x. Aber du hast gerade gezeigt, dass T_n nicht stark gegen 0 konvergiert.

Ehrlich gesagt weiß ich nicht was es heißt, dass der Operator schwach konvergiert. Ich schau mal nach und editier es rein.

Edit: Heißt natürlich das kanonische. Und man kann zeigen, dass es schwach gegen den Nulloperator konvergiert.

12.01.2015, 17:19

Bottles

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RE: Konvergiert der Operator?

Zitat:

Wenn er stark konvergieren würde, dann muss $\begin{eqnarray*} T_n x \to T x \end{eqnarray*}$ fuer alle Folgen X gelten. Damit muss T schon 0 sein, weil $\begin{eqnarray*} T_n x \to 0 \end{eqnarray*}$ fuer festes x. Aber du hast gerade gezeigt, dass T_n nicht stark gegen 0 konvergiert.

Das verstehe ich irgendwie noch nicht. Hier habe ich doch eben nicht das Supremum und damit müsste doch eigentlich alles gut gehen.

$\begin{eqnarray*} T_n \to T \end{eqnarray*}$ stark gdw $\begin{eqnarray*} ||T_nx-Tx|| \to 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in l^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ der einzige mögliche Grenzwert.
Sei also $\begin{eqnarray*} x \in l^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist:

$\begin{eqnarray*} ||T_nx|| = \sqrt{\sum\limits_{k=n}^\infty |x_k|^2} \to 0 \end{eqnarray*}$

Also müsste doch starke Konvergenz vorliegen?

12.01.2015, 17:22

IfindU

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RE: Konvergiert der Operator?
Habt ihr starke Konvergenz so definiert? Wenn ja, stimmt es. Ich fände es natürlicher zu fordern, dass T_n gegen T in der Operatornorm konvergiert. Allerdings bin ich nicht "definitionsfest" bei Operatoren.

Wenn das die Definition ist, dann konvergiert es natürlich stark.

12.01.2015, 17:26

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RE: Konvergiert der Operator?
Ich kenne starke Konvergenz auch nur im Sinne der Konvergenz bzgl. der Norm.
Das hier $\begin{eqnarray*} ||T_nx-Tx|| \to 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in l^2 \end{eqnarray*}$ kenne ich als punktweise Konvergenz

12.01.2015, 17:27

Bottles

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RE: Konvergiert der Operator?

Zitat:

Ich fände es natürlicher zu fordern, dass T_n gegen T in der Operatornorm konvergiert.

Das nennen wir Normkonvergenz ( $\begin{eqnarray*} T_n \to T :\Leftrightarrow ||T_n-T|| \to 0 \end{eqnarray*}$ ).

Gut dann danke ich dir!
Das Zeigen der schwachen Konvergenz kann ich mir dann zum Glück sparen. Tanzen

MfG

12.01.2015, 17:31

IfindU

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RE: Konvergiert der Operator?
Unter Annahme der starken Konvergenz wäre das ja auch nur eine weitere Zeile Wink

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Konvergiert der Operator?

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