Algorithmus zur Bestimmung eines Matrixprodukts

12.01.2015, 17:34

Algebra INuss

Algorithmus zur Bestimmung eines Matrixprodukts

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard!

Bin auf einen Algorithmus gestoßen und verstehe nicht warum das funktioniert, bzw ob es denn wirklich immer funktioniert? Habe es für ein paar Matrizen getestet und es scheint zu passen.

Gegeben seien 2 Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{n x n} \end{eqnarray*}$ regulär und $\begin{eqnarray*} B\in \mathbb R^{n x m} \end{eqnarray*}$ . Zu bestimmen sei das Produkt $\begin{eqnarray*} A^{-1}\cdot B \end{eqnarray*}$ nach folgendem Schema:

(1) Schreibe die Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nebeneinander an: (A | B).
(2) Führe solange auf beiden Seiten dieselben elementaren Zeilentransformationen durch, bis auf der linken Seite entweder eine Nullzeile oder die (n×n) - Einheitsmatrix entsteht.
(3) Wenn links eine Nullzeile entsteht, ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ singulär.
(4) Wenn links die Einheitsmatrix steht, dann steht rechts $\begin{eqnarray*} A^{-1}\cdot B \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Klingt ja genauso wie die Berechnung der Inversen von A, nur dass man so anfangen würde: (A|E).

Warum funktioniert das, wenn ich eine beliebige Matrix B drauf multipliziere?

12.01.2015, 18:44

URL

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RE: Algorithmus zur Bestimmung eines Matrixprodukts
Bei der Berechnung der Inversen suchst du eine Matrix $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X=A^{-1}E \end{eqnarray*}$
Das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} AX=E \end{eqnarray*}$ und das löst du mit Gauß-Verfahren, angewandt auf das System $\begin{eqnarray*} (A\mid E) \end{eqnarray*}$
Jetzt suchst du eine Matrix $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X=A^{-1}B \end{eqnarray*}$

13.01.2015, 02:46

RavenOnJ

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RE: Algorithmus zur Bestimmung eines Matrixprodukts

Zitat:

Original von Algebra INuss

Warum funktioniert das, wenn ich eine beliebige Matrix B drauf multipliziere?

Jede Elementaroperation entspricht einer Multiplikation mit einer Elementarmatrix von links. Eine Folge von Elementaroperationen entspricht also einem Produkt von Elementarmatrizen, das von links an $\begin{align*} (A\,|\,B) \end{align*}$ ranmultipliziert wird. Da dies dieselben Elementarmatrizen sind, die als Produkt $\begin{align*} A^{-1} \end{align*}$ ergeben, ergibt sich bei Anwendung auf $\begin{align*} (A\,|\,B) \end{align*}$ die Matrix $\begin{align*} (E\,|\,A^{-1}B) \end{align*}$ .

13.01.2015, 12:35

Algebra |Nuss

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Danke URL und RavenOnJ. Jetzt ist alles klar!

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