Kompaktheit nicht verstanden

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balance Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit nicht verstanden
Hallo,

Also, ich ich würde gerne mal wissen, ob ich das richtig verstanden habe:

Sei (X, T) Top. Raum und A eine Teilmenge von X

Eine (endlich) offene Überdeckung ist eine Familie von offenen Teilmengen, so dass A eine Teilmenge der Vereinigung (einer endlichen Anzahl) von offenen Mengen, bezüglich T, ist. Man kann salop sagen, dass die Elemente von A in den diversen Us verteilt sind.
Nimmt man nun z.B. die Hälfte dieser Us, so hat man eine Teilüberdeckung, man könnte auch mehr Us nehmen und kriegte eine Teilüberdeckung. Eine Teilüberdeckung ist sozusagen eine Teilmenge der Überdeckung.

Angenommen 90% der Us welche die Überdeckung bilden halten kein Element von A. Die restlichen 10% halten jedoch die Elemente von A, per Definition halt alle Elemente von A. Ist es nun möglich, mit diesen 10% eine Teilüberdeckung zu machen? So wie ich die Überdeckung verstanden habe, muss da nicht jedes U ein Element von A enthalten.

Kompakt: Eine Teilmenge A von X heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung von A eine endliche offene Teilüberdeckung von A enthält. Damit habe ich so meine Mühe. Eine offene Überdeckung ist ja eine Familie offener Mengen deren Durchschnitt eine Obermenge von A bilden. Es steht da jetzt "jede". Was genau ist damit gemeint? Und auch versteh ich den 2. Teil nicht. Wie kann eine offene Überdeckung keine offene Teilüberdeckung enthalten?

Es geht mir hier nicht um Intervalle oder um Topologie in , wirklich völlig allgemein.

Evtl. kann mir jemand die Kompaktheit etwas anderst erklären. Ich konnte kaum theoretische Aufgaben dazu lösen, daher nehme ich an, ich hab kein Plan davon. Ich konnte die Lösung zwar nachvollziehen etc. aber ihr merkt sicher selbst, dass es einfach noch nicht so sitzt wie es soll.

Edit: Ich habe meinen Fehler glaub gerde bemerkt. Für eine Teilmenge A von X gibt es unendlich viele Überdeckungen. Sofern A kompakt ist, kann es zwar auch unendliche Überdeckungen geben, trotzdem kann man mit einer endlichen Anzahl Us X bilden.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompaktheit nicht verstanden
Zitat:
Original von balance
Eine offene Überdeckung ist ja eine Familie offener Mengen deren Durchschnitt eine Obermenge von A bilden.

Das ist offensichtlich Mist. Es geht nicht um den Durchschnitt, sondern um die Vereinigung der Mengen aus der Überdeckung. Aber das hast du ja anscheinend weiter unten selber korrigiert.

Zitat:
Es steht da jetzt "jede". Was genau ist damit gemeint?

"Jede" heißt "jede". Das heißt nichts anderes, als dass du die Überdeckung beliebig aus offenen Mengen gestalten kannst und aus jeder Wahl einer Überdeckung kann man eine endliche Zahl von Mengen wählen, die schon für sich die Menge A überdecken. Genau dann ist A kompakt.

Zitat:

Edit: Ich habe meinen Fehler glaub gerde bemerkt. Für eine Teilmenge A von X gibt es unendlich viele Überdeckungen. Sofern A kompakt ist, kann es zwar auch unendliche Überdeckungen geben, trotzdem kann man mit einer endlichen Anzahl Us X bilden.


So ähnlich. Du meinst wohl eher A, nicht X - hoffentlich.
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