Abzählbare Subadditivität

12.01.2015, 22:20	Holder	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbare Subadditivität Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine "kleine" Frage. In meinem Skript wird (sorry ich weiss nicht wie das Doppel-s geht) die sigma-additivität eines Masses folgendermassen definiert: Ist $\begin{eqnarray} (A_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ (disjunkt) $\begin{eqnarray} \mu (\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n) = \sum_{n\in \mathbb{N}} \mu(A_n) \end{eqnarray}$ die abzählbare-subadditivität (bei einem äusseren Mass) sieht so aus: Ist $\begin{eqnarray} (A_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} P(\Omega ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu^ (\bigcup_{n=1}^\infty A_n) \leq \sum_{n=1}^\infty \mu^(A_n) \end{eqnarray}$ Nun die (vieleicht etwas banale) Frage: Was genau ist der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ? Gibt es überhaupt einen? Besten Dank Holder Meine Ideen: Keine
12.01.2015, 22:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Vereinigung ist es immer gleich. Theoretisch könnte man unter $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \end{eqnarray}$ noch Konvergenz ohne absolute Konvergenz rechtfertigen, während $\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ unabhängig von der Reihenfolge, d.h. absolut, konvergieren muss. Effektiv macht es aber keinen Unterscheid, weil man in dem Kontext nur nichtnegative Summanden betrachtet. Und thereotisch kann je nach Definition $\begin{eqnarray} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , d.h. man summiert über mehr, aber das wars an möglichen Unterschieden.
12.01.2015, 22:40	Holder	Auf diesen Beitrag antworten »
Recht herzlichen Dank fuer die schnelle Antwort! Einen schoenen Abend noch. Grüsse Holder
12.01.2015, 22:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
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