Verschoben! Teilverhältnisse bei drei Punkten auf einer Geraden

12.01.2015, 22:34

Astroboy

Teilverhältnisse bei drei Punkten auf einer Geraden

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich sitz gerade vor meinen Geometrie-Aufgaben und komme an einer Stelle nicht weiter ... vielleicht hat ja jemand von euch eine kurze Erklärung, damit es bei mir endlich klick macht Big Laugh

Ich habe drei voneinander verschiedene Punkte a, b und c gegeben, die auf einer Geraden liegen. Nun soll ich zeigen:
TV(a;b,c)*TV(b;c,a)*TV(c;a,b)=-1

Meine Ideen:
Von meinem Tutor habe ich gesagt bekommen, dass ich die Teilverhältnisse erst als Affinkombination schreiben soll, dann würde ich sofort sehen wie es weiter geht. Nun gut:
$\begin{eqnarray*} a=\lambda b+(1-\lambda)c b=\frac{1}{\lambda}a-\frac{1-\lambda}{\lambda}c c=\frac{1}{1-\lambda}a-\frac{\lambda}{1-\lambda}b \end{eqnarray*}$

In der Vorlesung hab ich noch gesehen, dass ich TV(a;b,c) als $\begin{eqnarray*} \frac{\lambda-1}{\lambda } \end{eqnarray*}$ schreiben kann. Hmmm... Also Wie genau ich jetzt aber von der Affinkombination auf diese Schreibweise komme begreife ich irgendwie nicht. Es soll ja total einfach sein, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch Big Laugh

Wie sehen die anderen Teilverhältnisse in dieser Schreibweise aus, und wie komme ich darauf?

Danke schonmal! smile

12.01.2015, 23:24

mYthos

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Es ist auch tatsächlich sehr einfach.
Genau genommen, brauchst du das ganze Brimborium mit der Lambda-Formel und auch die Affinität nicht.

Zunächst zum Vorzeichen:
Es liegen zwei äussere und eine innere Teilung vor, wobei das innere Teilverhältnis das negative Vorzeichen hat (weil die Richtungen zum Teilungspunkt gegenläufig sind). Das äußere Teilverhältnis ist stets positiv.

Die drei Punkte A, B, C liegen (o.B.d.A.) hintereinander auf einer Geraden.
Setze AB = a und BC = b
Somit lauten die drei Teilverhältnisse a/(a+b), -(b/a) und (a+b)/b

Der Rest ist Geschichte ...

mY+

13.01.2015, 12:35

Astroboy

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Okay, so verstehe ich das ganze. Dankeschön smile

In der Klausur von letztem Semester ist das ganze aber scheinbar mit dieser Lambda-Geschichte gefordert worden ... Aber das kann ich mir ja hieraus ableiten, oder?

Also in dem Fall wie du ihn beschrieben hast, dass die Punkte hintereinander liegen, könnte ich dann doch die Strecke AC als 1 auffassen, dann wäre a=AB=Lambda - 1 und b=BC=Lambda. Richtig? Wenn ich diese nun für a bzw b einsetze komme ich ja dann auch auf -1.

Kann man das so machen?

16.01.2015, 13:36

mYthos

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Zitat:

Original von Astroboy
... könnte ich dann doch die Strecke AC als 1 auffassen, dann wäre a=AB=Lambda - 1 und b=BC=Lambda.
...

AB wäre allerdings dann $\begin{eqnarray*} 1 - \lambda \end{eqnarray*}$

Das ist aber dennoch im Grunde auch nichts anderes als die Rechnung mittels a, b.
Besser du bleibst dabei, denn mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wird üblicherweise ein Teilverhältnis bezeichnet, NICHT eine Strecke (!).
-------------------

Die Rechnung mit der $\begin{eqnarray*} \lambda- \end{eqnarray*}$ Formel bzw. der Affinkombination geht aber auch ganz gut:

Die Affinkombination ist nichts anderes als die etwas umgestellte Parameterform der Geradengleichung

$\begin{eqnarray*} \vec x = \vec a + \lambda (\vec b - \vec a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x = (1 - \lambda)\vec a + \lambda \vec b \end{eqnarray*}$

Das Teilverhältnis nun, welches der Punkt X auf der Geraden AB erzeugt, lautet

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\vec x - \vec a}{\vec b - \vec a} \end{eqnarray*}$

Das legen wir nun auf unseren Fall der drei Punkte um, wir schreiben anstatt $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$
Die Teilverhältnisse, die jeder der drei Punkte auf der Geraden bezüglich der anderen zwei Punkte erzeugt, lauten demnach

$\begin{eqnarray*} \lambda_c = \frac{\vec c - \vec a}{\vec b - \vec a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_a = \frac{\vec a - \vec b}{\vec c - \vec b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_b = \frac{\vec b - \vec c}{\vec a - \vec c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_a \cdot \lambda_b \cdot \lambda_c = -1 \end{eqnarray*}$

mY+

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