schwere Binomialaufgabe

13.01.2015, 17:35

Lost in Mathematics

schwere Binomialaufgabe

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...X_6 \end{eqnarray*}$ uabhängige,identisch $\begin{eqnarray*} B(1,\frac{1}{6})- \end{eqnarray*}$ verteilte Zufallsvariablen.

Bestimmen sie ein minimales $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} P\left(\sum\limits_{i=1}^6 X_i \geq c\right) \leq 0,1 \end{eqnarray*}$

und zwar

$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ exakt über die Binomialverteilung

$\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ über eine Approximation mittels der poisson-Verteilung

$\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ durch Abschätzung nach oben mittels der Tschebyscheff-Ungleichung,

$\begin{eqnarray*} d) \end{eqnarray*}$ über eine Normalenapproximation ohne Stetigkeitskorrektur

$\begin{eqnarray*} e) \end{eqnarray*}$ über eine Normalenapproximation mit Stetigkeitskorrektur

Meine Ideen:
ich versteh überhaupt nicht,wie ich das mit der Binomialverteilung angehen soll

soll ich jetzt $\begin{eqnarray*} \binom{6}{k} \frac{1}{6}^k * \frac{5}{6}^{6-k} \end{eqnarray*}$ und denn das ausrechnen?

eine andere idee wäre vielleicht zu rechnen

$\begin{eqnarray*} P\left(\sum\limits_{i=1}^6 X_i \geq c\right)= 1- P\left(\sum\limits_{i=1}^6 X_i < c\right) \end{eqnarray*}$

13.01.2015, 20:04

h4mmer

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RE: schwere Binomialaufgabe

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P\left(\sum\limits_{i=1}^6 X_i \geq c\right)= 1- P\left(\sum\limits_{i=1}^6 X_i < c\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Genau, du musst also $\begin{eqnarray*} 1- P\left(\sum\limits_{i=1}^6 X_i < c\right)\leq 0,1 \end{eqnarray*}$ lösen.

Dazu musst du zuerst wissen, wie die Summe der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ verteilt ist, dann kannst du die Ungleichung lösen.

13.01.2015, 20:21

Lost in Mathematics

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ja ist die Summe der Zufallsvariablen nicht Binomial verteilt mit $\begin{eqnarray*} B(1,\frac{1}{6}) \end{eqnarray*}$ ?

13.01.2015, 22:40

h4mmer

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Genau. Und damit kennst du die Verteilungsfkt und kannst die Ungleichung lösen.

13.01.2015, 23:37

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hä wie soll das gehen

$\begin{eqnarray*} 1- P\left(\sum\limits_{i=1}^6 X_i < c\right)\leq 0,1 \end{eqnarray*}$ mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} 1- P\left(\sum\limits_{i=1}^6 \binom{6}{i}*\frac{1}{6}^i*\frac{5}{6}^{6-i} < c\right)\leq 0,1 \end{eqnarray*}$ wie soll's jetzt weiter gehen?

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