Beweis Beziehungen kompl. Zahlen

13.01.2015, 17:18

Rivago

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Beweis Beziehungen kompl. Zahlen

Wink

Beweisen Sie unter Verwendung der algebr./kart. Form die folgenden Beziehungen. Es sind dabei $\begin{eqnarray*} w, x, y, z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Aufgabe b)

$\begin{eqnarray*} \overline{x + y} = \bar{x} + \bar{y} \end{eqnarray*}$

Was ist denn überhaupt x und y? Nimmt man das für a und b aus $\begin{eqnarray*} z = a + bi \end{eqnarray*}$ ??

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man sowas angeht? Tu mich mit den Beweisen echt schwer unglücklich

unglücklich

13.01.2015, 17:28

Mathema

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Nun ja - setz doch mal an:

$\begin{eqnarray*} x=a+bi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=c+di \end{eqnarray*}$

Und nun geht´s hier mit weiter und dann wird umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \overline{x + y} = ... \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

13.01.2015, 17:35

Rivago

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Hmm..

Naja, dann ist $\begin{eqnarray*} \bar{x} = a - bi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{y} = c - di \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{(a + bi) + (c + di)} = (a - bi) + (c - di) \end{eqnarray*}$

x und y sind ja konjugiert und somit steht dann da wieder:

$\begin{eqnarray*} (a - bi) + (c - di) = (a - bi) + (c - di) \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

13.01.2015, 17:41

Mathema

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Zitat:

Original von Rivago

Naja, dann ist $\begin{eqnarray*} \bar{x} = a - bi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{y} = c - di \end{eqnarray*}$

Ja.

Freude

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \overline{(a + bi) + (c + di)} = (a - bi) + (c - di) \end{eqnarray*}$

Hier setzt du ja genau das voraus, was du erstmal beweisen sollst. So einfach geht es denn nicht.

$\begin{eqnarray*} \overline{x + y} = \overline{a + bi + c + di} = ... \end{eqnarray*}$

Nun erstmal addieren und dann von der Summe die konjugierte Zahl bilden.

13.01.2015, 17:46

Rivago

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$\begin{eqnarray*} \overline{x + y} = \overline{(a + bi) + (c + di)} = \overline{(a + c) + (b + d)i} \end{eqnarray*}$

Und das konjugiert sieht ja dann so aus: $\begin{eqnarray*} (a + c) - (b + d)i \end{eqnarray*}$

Oder?

13.01.2015, 17:48

Mathema

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Wunderbar!

Nun hinten die Klammer auflösen und sortieren. Dann solltest du hoch erfreut seien.

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13.01.2015, 17:50

Rivago

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So?

(a + c) - bi + di

verwirrt

verwirrt

Weiß nicht was ich da jetzt sonst auflösen soll..

13.01.2015, 17:52

Mathema

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Vorne steht doch eine Plusklammer, die kannst du einfach weglassen. Und bei der Multiplikation hast du hinten noch ein Vorzeichenfehler.

13.01.2015, 17:53

Rivago

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Okay, dann ist es a + c - bi - di

Was muss man jetzt noch machen? Was zeigt mir das?

13.01.2015, 17:55

Mathema

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Zitat:

Original von Rivago

Naja, dann ist $\begin{eqnarray*} \bar{x} = a - bi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{y} = c - di \end{eqnarray*}$

Nun ja - dann zitiere ich dich nochmal.

Bekommen wir das nun nicht hin aus dem Term?

13.01.2015, 17:57

Rivago

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Muss ich diese beiden jetzt auch noch addieren und zusammenfassen?

unglücklich

unglücklich

verwirrt

traurig

13.01.2015, 17:59

Mathema

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Da steht eine Summe. Summanden darf man beliebig vertauschen! Sortiere doch mal etwas.

13.01.2015, 18:01

Rivago

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Naja, a + c - bi - di ist das selbe wie a - bi + c - di

Das hab ich auch gesehen.. Aber was nun? Muss man da noch was machen? Oder ist es damit bewiesen???

13.01.2015, 18:02

Mathema

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Jetzt schreibst du mal alles sauber in eine Gleichungskette mit dem Anfang und Ende:

$\begin{eqnarray*} \overline{x + y} =...= \bar{x} + \bar{y} \end{eqnarray*}$ .

Und dann bist du fertig.

13.01.2015, 18:09

Rivago

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Ich versuchs mal...

$\begin{eqnarray*} \overline{x + y} = \overline{(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i} = (a + c) - (b + d)i = a + c - bi - di = a - bi + c - di = \bar{x} + \bar{y} \end{eqnarray*}$

Passt das?

13.01.2015, 18:11

Mathema

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Das sieht doch wunderbar aus, oder findest du etwa nicht?

(Nur dein Strich ist etwas lang geworden - der soll ja nicht über das Gleichheitszeichen gehen.)

13.01.2015, 18:12

Rivago

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Wunderschön.. Danke smile

smile

Ich muss jetzt erstmal was essen und mach dann eine neue Aufgabe..

Bis später vllt Wink

Wink

13.01.2015, 18:13

Mathema

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Essen klingt nach einer guten Idee. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gern geschehen.

Wink

Wink

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