Fragen zur Integration

13.01.2015, 19:09

MatheFritzi

Fragen zur Integration

Hey,
Ich bin gerade dabei für die Analysis 1 Prüfung zu lernen und bin dabei auf ein paar Probleme gestoßen.
Ich habe Übungsaufgaben mit Lösungen bekommen, doch da sind in den Lösungen oft Dinge, die ich nicht nachvollziehen kann. Ich werde ein paar Screenshots von den Aufgaben hochladen, wo diese Stellen markiert sind.

Dann habe ich noch das Problem, dass ich noch nicht so ganz gecheckt habe, was genau dieses dt, dx, dt/dx etc. bedeutet. Laut recherche bedeutet letzteres ja "t über x" integrieren oder so, aber ich weiß nicht so recht, was das bedeuten soll.
BSP: Integral von (dx/(x^2+2x+5)) da steht doch das dx normalerweise am ende? was sagt mit das, dass es über dem bruchstrich steht? Kann ich daraus Integral(1/(x^2+2x+5) dx) machen? Und wie verfahre ich dann weiter? Der nenner hat ja soweit ich das sehe keine Nullstellen. Also fällt die PBZ schonmal weg.
In den Lösungen substituieren die t = (x+1)/2 aber ansonsten verstehe ich von den einzelschritten nicht so viel. Werde sie mal als aufgabe 2 hochladen. Vielleicht kann mir ja jemand die einzelnen Schritte näher erläutern.

Fragen zu Aufgabe 1:
wie wird aus x(x-1)^2 = x + (x-1) + (x-1)^2

Dann die nächste Zeile, wo daraus C1(x-1)^2... wird.
Da komme ich auf: C1(x-1)^3 + C2(x(x-1^2) + C3(x^2-x)
Was mache ich da falsch?

Als nächstes muss man ja die Nullstellen einsetzen. Doch wie kommt der in der lösung auf -1 für C3. (-1-1)^2 ist soweit ich weiß nicht 0.

Den Rest der Aufgabe, der nicht auf dem Screenshot ist, verstehe ich.

Fragen zu Aufgabe 3:
Erste markierte Stelle: Welches LGS?
Zweite/Dritte markierte Stelle: Wie kommt man darauf?

13.01.2015, 19:42

grosserloewe

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RE: Fragen zur Integration
Wink

Zu Aufgabe 1

Eigens für solche Aufgaben wurde dieses Dokument geschrieben:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=445212

Unter Punkt 2.3 steht , wie mit mehrfachen Polstellen zu Verfahren ist.

Unter Punkt 3.3 ist die Einsetzmethode erklärt.
Statt des Wertes -1 kannst Du auch jeden anderen Wert nehmen z.B 2
(aber nicht die Polstellen)

Du multiplizierst mit dem Hauptnenner , um mit der Einsetzmethode arbeiten zu können.(Dein 3. gelber Anstrich)

Zu Aufgabe 2:

Hier wurde die quadratische Ergänzung angewendet:

http://www.mathebibel.de/quadratische-ergaenzung

Zu Aufgabe 3)

Nach Multiplizieren mit dem Hauptnenner erhält man:

1= A x^2 +Ax +A +Bx^2 +Cx

Nach der Methode des Koeffizientenvergleiches erhält man das GLS:

x^2: 0=A+B
x^1: 0=A+C
x^0: 1=A

13.01.2015, 21:00

MatheFritzi

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Ich habe gerade nochmal versucht Aufgabe 1 mithilfe des geposteten threads zu lösen.
Dort steht:

Zitat:

Es gilt drei Koeffizienten zu bestimmen. Drei Unbekannte fordern drei Gleichungen. Für die Einsetzmethode sei x=-1, x=2 und x=3 gewählt (x=0 oder x=1 dürfen nicht gewählt werden! Sie liegen außerhalb von D).

In den von mir hochgeladenen Lösungen werden doch aber mit 0 und 1 genau die Polstellen genommen, oder verwechsle ich da was? Bis dahin habe ich es schonmal verstanden Augenzwinkern

Ich werde mal weiterrechnen und hier den Post editieren, wenn noch weitere Fragen auftauchen.

13.01.2015, 21:13

grosserloewe

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In unserem Beispiel sind 0 und 1 schon durch die Polstellen vergeben. Das stimmt . Es geht um den freien zu wählenden Wert, da eben 0 und 1 schon vergeben ist , muß hier ein anderer beliebiger Wert genommen werden.Das ist damit gemeint.

13.01.2015, 22:21

MatheFritzi

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Aber warum kann man bei Nenner: x(x-1)^2 dann 0 und 1 nehmen? Das sind ja eben die Polstellen.

13.01.2015, 22:23

grosserloewe

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Die nimmt man ja auch, aber es fehlt noch ein 3. Wert.

Hier zur Verdeutlichung noch ein anderes Beispiel:

https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_5563/daten/auto/part_3/node301.htm

Hier nimmt man auch die Polstellen und dann freie Werte

13.01.2015, 23:27

MatheFritzi

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Oben editieren geht, nicht da ich nicht eingeloggt bin....

Ich habe mich jetzt nochmal an der Aufgabe 3 versucht.
Ich kam jetzt bis zur 2. gelben Markierung. Was danach abgeht kann ich nicht nachvollziehen. Die nächste Zeile ist noch klar, aber dann die 3. Gelbe Markierung.... Wo kommt das alles her? Und woher kommt danach der arctan....?

13.01.2015, 23:41

MatheFritzi

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Es besteht auch immer noch die Frage, dass ich noch immer nicht genau verstanden habe, was dx, dt etc. bedeutet. Kann mir das evtl jemand mit eigenen Worten möglichst verständlich erklären?
Zum Beispiel bei Aufgabe 2 der Teil nach: "Es ergibt sich:" aber auch allgemein.

Noch eine Frage: Auf der Seite zu PBZ habe ich mich bei folgender Zeile gefragt, was das $\begin{eqnarray*} f_{n-1} \end{eqnarray*}$ am ende bedeutet.
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{x^n} \to F_n=-\frac{f_{n-1}}{n-1} \end{eqnarray*}$

14.01.2015, 07:17

grosserloewe

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Ich habe mich jetzt nochmal an der Aufgabe 3 versucht.

Ich kam jetzt bis zur 2. gelben Markierung. Was danach abgeht kann ich nicht nachvollziehen. Die nächste Zeile ist noch klar, aber dann die 3. Gelbe Markierung.... Wo kommt das alles her?

Da hier keine PBZ möglich ist ,wurde das so umgefomt,

1.Integral: Zähler ist Ableitung des Nenners
(dafür gibt es eine Integrationsregel)

2. Integral: über die quadratische Ergänzung

Und woher kommt danach der arctan....?

Das wurde soweit vereinfacht, bis steht

integral (1/(x^2+1) dx uns das ist arc tan(x) +C

-----------------------------------------------------------------------------------------------

B: Integral von (dx/(x^2+2x+5)) da steht doch das dx normalerweise am ende?
--->ja

was sagt mit das, dass es über dem bruchstrich steht?

das ist nur eine andere Schreibweise.

Kann ich daraus Integral(1/(x^2+2x+5) dx) machen? -->ja

Also ,ob das dx im Zähler steht oder am Ende ist mathematisch das selbe.

14.01.2015, 22:11

MatheFritzi

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Woher kommt denn das zweite integral überhaupt? Da ist ja nur die eine +1 im Zähler weg...

14.01.2015, 22:36

grosserloewe

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Ja das ist gar nicht so einfach und braucht etwas Übung.

Du mußt sehen, das Du von

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x+1}{x^2+x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

kommst.

Das geht dann über die quadratische Ergänzung.

14.01.2015, 23:09

MatheFritzi

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Müsste es nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+x+1} \, dx \end{eqnarray*}$ sein? Man muss ja jeden Summand mit 1/2 multiplizieren.

Mir ging es aber um das danach, wie er von $\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{x}\, - \frac{1}{2} \int \frac{2x+1+1}{x^2+x+1} \, dx \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{x}\, - \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{(x+\frac {1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \, \end{eqnarray*}$ kommt.
Puhh das mit LaTeX ist ja aufwändiger als ich gedacht habe aber wenn man erst mal die Befehle kennt... Augenzwinkern

15.01.2015, 09:39

grosserloewe

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Hallo,

Du zerlegst das Integral in:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+x+1} +\frac{1}{x^2+x+1} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx +\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

der rechte Ausdruck wird dann weiter über die quadratische Ergänzung
berechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2}^2) +\frac{3}{4} } \, dx \end{eqnarray*}$

20.01.2015, 12:02

MatheFritzi

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Vielen Dank! Beschäftige mich zwar grad mit anderen aufgaben aber, das hier ist mir jetzt größtenteils klar

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